Normalmente, uno no acaba de escribir listas de los axiomas y, a continuación, ve si hay suficientes ejemplos interesantes que les satisface, evolucionan a lo largo del tiempo, generalmente de un par de muy importantes/interesantes ejemplos que luego se generaliza.
Para el espacio vectorial axiomas, por ejemplo, es bastante fácil para motivar a los porque ellos afloran por todas partes y son fácilmente identificables, por lo que es "natural" (natural como la matemática puede ser...) para escribir con ellos en un resumen de moda y decir "ahora que se acaba de pasar estudiar solo lo que sigue a partir de estos axiomas".
Pero para los axiomas de una cierta clase de mapas a partir de un par de vectores espacios (para simplificar) $\mathbb{R}$, es decir, el interior del producto, Yo no encuentra su motivación en la satisfacción de todos. Por lo que he leído en algunos libros y Wikipedia todo se reduce a decir: 1) es un geométricas hecho de que en la simplicidad - $\mathbb{R}^{2}$ el ecuación $$ \left\langle x,y\right\rangle =\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \cos\theta\quad\quad\left(1\right), $$
sostiene, donde $\theta$ es el ángulo entre el $x,y$ $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $ se define como el producto escalar.
2) $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $ tiene las propiedades de ser simétrica, lineal en cada uno de los argumentos y el cambio definitivo.
3) Conclusión: Debemos de manera abstracta estudio simétrica, lineal y positiv definidos los mapas de $V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ donde $V$ es un vector espacio.
Para mí, 1) y 2) no son, por mucho, lo suficiente como para decir 3), ya que
$\bullet$ para otros ejemplos importantes de los mapas (y espacios vectoriales $V$), la relación $\left(1\right)$, lo que motivó el resumen definición de un producto interior, no es aplicable en absoluto: no intuitivamente claro lo $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $ y $\theta$ debe ser para estos ejemplos, de modo que podamos verificar $\left(1\right)$ para ellos, se observa que en todos estos ejemplos el lado izquierdo tiene las propiedades enumerados en el punto 2), que vendría a consolidar nuestra creencia de que realmente hemos forjado una clase importante de las asignaciones que merece la pena conocer en el resumen. Considere por ejemplo, $V=C\left[a,b\right]$ y $$ \left(x,y\right)\mapsto\int_{a}^{b}x\left(t\right)\left(t\right)dt. $$
$\bullet$ hay un montón de otras propiedades del producto escalar de a $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle $ ha. ¿Por qué no estudiar los mapas que satisfacer algunos otros geométrica intuitiva propiedades además de las que en 2) ?
Así que lo que estoy buscando es una mejor motivación de los axiomas del interior del producto, o por ejemplo (que son cualitativamente diferentes de otro) que satisface $\left(1\right)$.
Nota bene: se trata de motivar a los axiomas del producto interior por su la historia no me traen mucha claridad: Todo lo que podía encontrar después de algunos google fue que la definición del producto escalar de vino de la definiciones de los cuaterniones (ver Historia del producto escalar y coseno), pero pasar de ahí a la definición de interior de los productos de manera abstracta parece ser un poco estirada para mí.
