¿Conversión de un enunciado dado en lógica de predicados?

Question

Afirmación : Si el Sr. A es culpable, entonces ningún testigo miente a menos que tenga miedo. Hay un testigo que tiene miedo.

Una pista: Formule el problema utilizando los siguientes predicados:

$G$ : El Sr. A es culpable

$W(x)$ : $x$ es un testigo

$L(x)$ : $x$ está mintiendo

$A(x)$ : $x$ tiene miedo

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

• El Sr. A es culpable.
• El Sr. A es inocente.
• De estos hechos no se puede concluir que el Sr. A sea culpable.
• Hay un testigo que miente.
• Ningún testigo miente.

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Mi intento:

He formulado el problema de la siguiente manera: $$ \neg A(x) \rightarrow \left ( G \rightarrow \neg\exists x \left ( W(x) \wedge L(x) \right ) \right ) $$ Entonces, utilicé la Ley de Exportación y el Modus Tollens: $$ \left ( \neg A(x) \wedge G \right ) \rightarrow \left ( \neg \exists x \left ( W(x) \wedge L(x) \right ) \right ) $$ $$ \exists x\left ( W(x) \wedge L(x) \right ) $$ y saqué la conclusión $$ \neg A(x) \rightarrow \neg G $$ O $$G \rightarrow A(x)$$

La misma pregunta ha sido preguntó antes Pero necesito confirmar mi enfoque para este problema. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Su conclusión es "Si una persona no tiene miedo, entonces $G$ es culpable", lo que intuitivamente debería sonar mal para usted.

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Yo diría que tienes dos frases distintas. La primera es

Si el Sr. A es culpable, entonces ningún testigo está mintiendo a menos que tenga miedo

Y esta frase comienza con un "Si". Ahora, "Si $X$ entonces $Y$ Las frases "se traducen normalmente en $A\implies B$ Así que le sugiero que haga lo mismo aquí. Esto significa que la declaración lógica comenzará con $G\implies$ , no con $\neg A\implies$ .

Ahora, la segunda parte debe ser la de "ningún testigo miente si no tiene miedo". Esto se puede reformular como

"si un testigo miente, tiene miedo", así que $(W(x)\land L(x))\implies A(x)$

o como

"si un testigo no tiene miedo, no está mintiendo", así que $(W(x)\land \neg A(x)\implies \neg L(x)$

(es fácil ver que esas dos frases son lógicamente equivalentes).

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Así, la declaración resultante es

$$G\implies \forall x:((W(x)\land L(x))\implies A(x))$$

con la segunda afirmación, por supuesto, siendo $\exists x: W(x)\land A(x)$ .

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Ahora, por el simple hecho de que la única declaración que tiene sobre $G$ es $$G\implies\text{something}$$ debe quedar claro que no hay manera de demostrar que $G$ es verdadera (siempre podría ser falsa, pero esa afirmación seguirá siendo verdadera).

Sin embargo, usted puede tal vez probar $\neg G$ desde $A\implies B$ es lo mismo que $\neg B$ implica $\neg A$ .

En nuestro caso, esto significa que estamos interesados en la declaración

$$\neg(\forall x:((W(x)\land L(x))\implies A(x)))\implies \neg G$$

que se simplifica a:

$$\exists x: W(x)\land L(x)\land \neg A(x) \implies \neg G$$

que significa "si existe un testigo mentiroso que no tiene miedo, entonces el señor A es culpable".

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Sin embargo, sólo sabes de un testigo, y no sabes si está mintiendo. Usted sabe que si están mintiendo, entonces el Sr. A no es culpable, pero si no están mintiendo, el Sr. A podría ser culpable o no, simplemente no lo sabe.