Ejemplo de un espacio métrico separable y localmente compacto que no es $\sigma$ -compacto

Question

Estoy buscando un ejemplo de un espacio métrico separable y localmente compacto que no sea $\sigma$ -compacto.

Al principio pensé que podría demostrar que si un espacio métrico es separable y localmente compacto, entonces debe ser $\sigma$ -compacto. Pero no he podido demostrarlo y no he encontrado ningún teorema que lo implique. Así que pensé que debía haber un ejemplo de un espacio que fuera metrizable, separable, localmente compacto pero no $\sigma$ -compacto. Es evidente que dicho espacio no puede ser compacto, por lo que busco un espacio métrico no compacto localmente.

¿Puede alguien darme un ejemplo de este tipo?

Answer 1

Ese espacio no existe.

Obsérvese que todo espacio de Hausdorff localmente compacto y de segundo conteo $X$ es σ-compacto.

• Prueba. La familia $\mathcal B$ de todos los abiertos $U \subseteq X$ con cierre compacto forma una base para $X$ por la compacidad local. Por segunda contabilidad, alguna subfamilia contable $\mathcal B_0$ de $\mathcal B$ es a su vez una base para $X$ . Pero entonces $X = \bigcup \{ \overline U : U \in \mathcal B_0 \}$ una unión contable de conjuntos compactos, por lo que $X$ es σ-compacto.

Ahora recordemos que la separabilidad es equivalente a la segunda contabilidad en los espacios métricos.