Demostrar que si $(f_n)$ converge a $f$ en punto a.e., entonces $(f_n)$ converge a $f$ en medida.

Question

Dejemos que $E$ sea un conjunto medible con $m(E)<\infty$ , $(f_n)$ una secuencia de funciones medibles de valor real sobre $E$ y $f$ sea una función medible de valor real sobre $E$ . Supongamos que $(f_n)$ converge a $f$ en punto a.e. en $E$ . Ahora se requiere demostrar que $(f_n)$ converge a $f$ en medida. Aquí está mi intento.

Supongamos que $(f_n)$ no converge a $f$ en medida. Entonces existe $\eta_0>0$ tal que $\lim_{n\to\infty}m(\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\eta_0\})\neq0$ . Por lo tanto, existe $\epsilon_0>0$ tal que para todo $n\in\mathbb{N},$ existe $N>n$ tal que $m(\{x\in E:|f_N(x)-f(x)|\geq\eta_0\})\geq\epsilon_0$ . Entonces hay una subsecuencia $(f_{n_k})$ de $(f_n)$ tal que $m(\{x\in E:|f_{n_k}(x)-f(x)|\geq\eta_0\})\geq\epsilon_0$ para cada $k\in\mathbb{N}$ . Ahora $(f_{n_k})$ es una sucesión de $(f_n)$ que no converge a $f$ en un conjunto de medida positiva; contradicción.

¿Está bien esta prueba? La estipulación $m(E)<\infty$ me preocupa. ¿Hay algún problema? Gracias.

Segundo intento-agregado más tarde:

Supongamos que $(f_n)$ converge a $f$ en punto a.e. en $E$ . Sea $\epsilon>0$ . Entonces, por el teorema de Egoroff, existe un conjunto medible $F\subseteq E$ tal que $m(F)<\epsilon$ y $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $E\setminus F$ . Ahora $(|f_n-f|)$ converge a $0$ uniformemente en $E\setminus F$ . Por lo tanto, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para cada $n>N$ y $x\in E\setminus F$ , $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ . Sea $n>N$ . Entonces $m(\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=m(\{x\in E\setminus F:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})+m(\{x\in F:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})<0+\epsilon=\epsilon.$

@Ian ¿Está bien este argumento?

Answer 1

Necesita esa estipulación porque una secuencia que converge a.e. por "mover la masa al infinito" no converge en medida. Un ejemplo concreto de ello es $f_n(x)=\chi_{[n,n+1]}(x)$ en $\mathbb{R}$ con la medida de Lebesgue.

En su prueba particular, primero hay un error muy pequeño. A saber, la negación de "las medidas van a cero" es "las medidas no van a cero", no "las medidas van a algo distinto de cero". Pero este error no es un gran problema; puedes obtener tu subsecuencia "mala" $f_{n_k}$ sin tener en cuenta. El mayor problema es la última frase donde afirmas que hay un conjunto de medidas positivas donde $f_{n_k}$ no converge. Esto no es cierto: todo lo que tiene es una secuencia de conjuntos "malos" $A_k$ cuyas medidas están acotadas por debajo de cero, pero pueden no tener puntos en común (en mi ejemplo, no los tienen).

Hacerlo correctamente requerirá un enfoque totalmente diferente, que explote el supuesto de medida finita en su centro. Hay un cierto teorema "con nombre" que te ayudará mucho...

Answer 2

Sugiero no usar la contradicción cuando sea posible.

Arreglar $\epsilon>0$ . Para casi todos los $x$ existe $n$ tal que $|f_m (x) -f(x)|\le\epsilon$ para todos $m\ge n$ , donde $m$ puede depender de $x$ . Sea $A_n = \{x: |f_m(x)-f(x)| \le\epsilon,~\mbox{for all }m \ge n\}$ . Entonces $A_n\subset A_{n+1} \subset \dots$ y lo anterior demuestra que $A_n \nearrow E$ a.e. Si $|f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon$ entonces claramente $x \in E-A_n$ . Esto da
$$m (\{x:|f_n (x)-f(x)|>\epsilon\})\le m (E-A_n) \underset{n\to\infty}{\to} 0,$$

donde el límite se mantiene porque $A_n \nearrow E$ y $m(E)<\infty$ .

En cuanto a su prueba, hay varios problemas como ya se ha señalado. El primero y más pequeño es que supones que el límite $\lim_{n\to\infty}m(\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\eta_0\})\neq0$ existe. El principal problema es que no has demostrado que exista UN conjunto de medidas positivas en el que falle la convergencia puntual. Lo que sí has demostrado es que hay una secuencia de subconjuntos $E_{n_k}$ de manera que en $E_{n_k}$ $|f_{n_k}(x) -f(x) |>\epsilon_0$ (esto es fundamentalmente diferente a lo que usted afirma: $f_{n_k}$ no converge en algún conjunto fijo. Esto no lo has demostrado).

Por último, aquí tienes una prueba rápida si estás familiarizado con la integración. WLOG $f=0$ . Desde $\min\{|f_n|(x),\epsilon\}/\epsilon$ es $1$ cuando $f_n(x) \ge \epsilon$ y entre $0$ y $1$ en caso contrario, su integral es mayor que la medida del conjunto $\{x:|f_n|(x)>\epsilon\}$ . Por lo tanto,

$$ \mu(\{x:|f_n(x)|>\epsilon\}) \le \frac{1}{\epsilon}\int \min\{|f_n|(x),\epsilon\}d m (x).$$

Ahora aplique la convergencia acotada ( $m(E)<\infty$ ) para demostrar que el lado derecho tiende a cero.