Encontrar el operador con una secuencia dada de valores propios

Question

Actualmente me ocupo del teorema espectral para operadores compactos y autoadjuntos. A partir de este teorema, sabemos que para un operador lineal, acotado, compacto y autoadjunto la seuqencia de valores propios es real y el único punto de acumulación posible es $0$ . Por lo tanto, podemos analizar, por ejemplo, la convergencia de la suma de todos los valores propios de tales operadores.

Me preguntaba si hay declaraciones para "el otro lado". Supongamos que tenemos una secuencia $(\lambda_n)_{n \in\mathbb{N}}$ de valores reales con punto de acumulación $0$ . Supongamos que $(\lambda_n)_{n \in\mathbb{N}} \in \ell^1(\mathbb{R})$ . ¿Existe algún operador lineal, acotado, compacto y autoadjunto $T$ , tal que este operador tiene los valores propios $(\lambda_n)_{\mathbb{N}}$ . En otras palabras, ¿existe una correspondencia unívoca entre el conjunto de $\ell^1$ secuencias y operadores de este tipo $T$ ¿o al menos alguna relación?

No he visto nada en mis apuntes de clase ni en los libros sobre este tema. ¿Esto se debe a que sólo es una pregunta "no convencional" o a que no existe tal afirmación?

Gracias de antemano por su ayuda.

EDIT: Por supuesto, necesitamos un operador que actúe en un espacio de dimensiones infinitas

Answer 1

Dejemos que $\sigma = (\lambda_n)_{n=0}^\infty\subset \mathbb{R}$ sea una secuencia de números reales que se acumulan en cero, tal que $\sum|\lambda_n| < \infty$ . (La condición de sumabilidad implica que $|\lambda_n|$ tiene multiplicidad finita y está acotada por encima).

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert separable con producto interno $\langle \cdot,\cdot\rangle$ y que $\{e_n\}_{n=0}^\infty$ sea una base ortonormal de $H$ . Definir un operador $T$ al establecer $Te_n = \lambda_ne_n$ con dominio $$D(T) = \bigg\{ v \in H\ \bigg|\ \sum_n (\lambda_n\langle v, e_n\rangle)^2 < \infty \bigg\}$$ Entonces:

1. Porque $\sigma$ es absolutamente sumable, el operador $T$ está acotado y tiene dominio $D(T) = H$ .
2. Como $\langle e_j, T^*e_k \rangle = \lambda_k$ el operador $T$ es manifiestamente autoadjunto.
3. Para cada $k \geq 0$ definimos el operador de rango finito $T_k$ al establecer $$T_ke_n = \begin{cases}\lambda_ne_n, & n \leq k \\ 0, & n > k\end{cases}$$ Denotando por $\|\cdot \|$ la norma del operador, observe que $\|T_k - T\| \leq \sup_{i > k} |\lambda_k| \to 0$ Así que $T_k\to T$ en la norma del operador. Como $T$ es el límite de la norma del operador de rango finito, es compacto.