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¿Es siempre cierto que $\frac d {dx}\int_a^b f(x,y)\, dy = \int_a^b \frac{d}{dx}f(x,y)\,dy$ donde los dominios son el espacio euclidiano y $a$ y $b$ pueden ser $\pm\infty$ ? Esto se utiliza ampliamente en muchos contextos, pero no creo haber visto ninguna prueba al respecto. ¿Habrá algún caso en el que uno de los términos diverja pero el otro converja? Si es así, ¿cuál es la condición para garantizar que las integrales anteriores son iguales?
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Otra cuestión es... si queremos evaluar $\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{m=0}^\infty\left| a_{m,n}\right|$ ¿se puede escribir $$\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{m=0}^\infty \left| a_{m,n} \right| = \sum\limits_{m=0}^\infty \sum\limits_{n=0}^\infty \left| a_{m,n} \right|$$ en medio de mi solución? Tengo dudas porque normalmente no podemos decir $\infty=\infty$ por lo que sin saber que la suma anterior converge, no podemos cambiar el orden. Por otro lado, tenemos el teorema que dice que si una de las sumas anteriores en la igualdad existe, dos términos deben ser iguales.
¿Podría alguien darme alguna idea? ¡¡¡Muchas gracias!!!
