Cómo encontrar el dominio y el rango de $f(x) = \sqrt {\frac{x+1}{x+2}}$

Question

Encuentre el dominio y el rango de $$f(x) = \sqrt {\frac{x+1}{x+2}}$$

Tengo el dominio $[-1, \infty)$ pero la respuesta contiene $(-\infty, -2)$ junto con ella. ¿Y cómo calcular el alcance?

Answer 1

Debemos tener $$\frac{x+1}{x+2}\geq 0.$$ Consideramos los siguientes casos:

Caso 1. Supongamos que $x+1\geq 0$ y $x+2>0$ . Entonces $x\geq -1$ y $x>-2$ . Así, $$SS_1=[-1,\infty).$$

Caso 2. Supongamos que $x+1\leq 0$ y $x+2<0$ . Entonces $x\leq -1$ y $x<-2$ . Así, $$SS_2=[-\infty,-2).$$

Por lo tanto, el dominio $=SS_1\cup SS_2$

Dejemos que $y=f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}$ . Tenga en cuenta que $y\geq 0$ . Ahora, $$y^2=\frac{x+1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}$$ y obtenemos $$x=\frac{1}{1-y^2}-2\qquad;y\neq\pm 1$$ Porque $y\geq 0$ se deduce que el rango es $\Bbb R\smallsetminus\{1\}$ . Para completar la información, el gráfico se presenta a continuación:

Answer 2

El signo de $\dfrac{x+1}{x+2}$ es el mismo que el signo de $(x+1)(x+2)$ . Esta última es una parábola con concavidad positiva y raíces en $-2$ y $-1$ por lo tanto, es positivo para $x < -2$ o $x>-1$ .

En su caso $x=-1$ permitido mientras $x=-2$ no lo es. Así que el dominio que busca es $(-\infty,-2) \cup [-1,\infty)$ .