¿podemos tener un triángulo con lados $1, x$ y $x^2$?

Question

¿Podemos tener un triángulo con lados $1$, $x$ y $x^2$? ¿Y lo que podría ser $x$?

Trato de abordar esta cuestión haciendo 3 desigualdades.
$1+x>x^2$,
$1+x^2>x$,
$x^2+x>1$

y vienen con diferentes desigualdades cuadráticas
$x^2-x-1<0$ (la solución es $(1+\sqrt 5)/2 > x > (1-\sqrt 5)/2$);
$x^2-x+1>0$ (solución es $x > (-1+\sqrt 5)/2$ o $x < (-1-\sqrt 5)/2$)
$x^2+x-1>0$ (ninguna solución real)

Entonces empiezo a luchar con el siguiente paso... Gracias

Answer 1

Su enfoque está bien. $1+x > x^2$ tiene la solución te han indicado, pero desde $x$ es el lado de un triángulo, no podemos tener un impacto negativo $x$. Por lo tanto $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. La segunda desigualdad, $1 + x^2 > x$ es satisfecha por todos los números reales, así que no hay restricción de aquí. El conjunto de soluciones de $x^2 + x > 1$ $x < \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ o $x > \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, y sólo positivos $x$ es importante. Por lo tanto, cualquier $x$ tal forma que:

$$ \frac{-1+\sqrt{5}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$

le dará un válido triángulo con los lados $1$, $x$ y $x^2$. Aproximadamente, $.618 < x < 1.618$. (Casualmente, el valor más grande es la proporción áurea, y el valor más bajo es su inverso multiplicativo!)

Answer 2

Así que ya teneis las desigualdades:

$$1+x>x^2\Longleftrightarrow x^2-x-1<0\Longleftrightarrow \frac{1-\sqrt 5}{2}<x<\frac{1+\sqrt 5}{2}$$

$$1+x^2>x\Longleftrightarrow x^2-x+1>0\Longrightarrow\,\text{always true}$$

$$x^2+x>1\Longleftrightarrow x^2+x-1>0\Longleftrightarrow x<\frac{-1-\sqrt 5}{2}\,\,\vee\,\,x>\frac{-1+\sqrt 5}{2}$$

El intervalo común a todas las desigualdades anteriores es

$$\frac{-1+\sqrt 5}{2}<x<\frac{1+\sqrt 5}{2}$$

Answer 3

Porque sabes que $x$ debe satisfacer los tres desigualdades, su conclusión sería que ningún triángulo existe, por lo que usted debe ser capaz de responder a la pregunta.

Por desgracia, resulta que su conclusión no es verdadera; tratar de resolver las desigualdades y buscando alguna manera de verificar si sus soluciones son correctas.

Answer 4

Usted ha hecho un buen inicio, pero usted está equivocado acerca de su desigualdades: la segunda tiene para todos los verdaderos $x$, y la solución que usted ha escrito para la segunda es, en realidad, la solución para el tercero.

Cualquier $x$ que satisface las tres desigualdades serán válidos. Desde el segundo uno tiene en todas partes, sólo se necesita comprobar el primero y el tercero, que tienen por $\frac12 (\sqrt 5-1) < x < \frac12 (\sqrt 5+1)$ .

Como una nota del lado, los dos números son $\varphi -1$ $\varphi$ donde $\varphi$ es la proporción áurea. Esto no es una coincidencia. Puede usted explicar?

Answer 5

No es una separación natural entre el$x\gt 1$$x\lt 1$. Por si $x\gt 1$,$x^2\gt x\gt 1$, lo $x^2$ es el más largo de isde.

Por otro lado, si $0\lt x\lt 1$, $x^2$ es el bebé de la familia.

Caso $x \gt 1$: Si la desigualdad de $x^2 \lt x+1$ sostiene, nos va a ir bien. Las raíces de $x^2-x-1=0$$(1\pm \sqrt{5}/2$. Así que en nuestra gama, la desigualdad se cumple para $1\lt x\lt (1+\sqrt{5})/2$.

Caso $0\lt x\lt 1$: Ahora queremos que $x^2+x\gt 1$. Las raíces de $x^2+x-1=0$$(-1\pm\sqrt{5})/2$. así que en nuestra gama, la desigualdad se cumple si $x\gt (-1+\sqrt{5})/2$.

De curso $x=1$ está bien también. Poner los resultados, podemos ver que podemos formar un triángulo con precisión si $(-1+\sqrt{5})/2 \lt x \lt (1+\sqrt{5})/2$.

Observación: Considerar el número $1,x, x^2$. Supongamos que podemos hacer un triángulo con estos lados. Los lados pueden escribirse como $x^2(1/x^2)$, $x^2(1/x)$, y $x^2(1)$. Por la escala, podemos hacer un triángulo con estos lados iff podemos hacer un triángulo con lados de $(1/x^2,1/x,1)$. Poner a $y=1/x$, vemos que hay un triángulo con lados de $1,x,x^2$ fib hay un triángulo con lados de $1,y,y^2$. Por lo tanto es natural que la correspondencia entre nuestros triángulos que tienen su lado más corto de igual a $1$ con los triángulos que tienen más larga de lado igual a $1$. Podríamos haber utilizado esta correspondencia para obtener una instantánea de ruedas en $x$ para el caso de $x\lt 1$ desde el límite para el caso de $x\gt 1$: acaba de tomar el recíproco.