Un álgebra $A$ es un $\sigma$ -si es cerrada bajo uniones contables

Question

Un álgebra $A$ es un $\sigma$ -si y sólo si $A$ es cerrado bajo uniones crecientes contables.

Prueba: Supongamos que $\{E_j\}_{1}^{\infty}\subset A$ y $E_1\subset E_2\subset \ldots$ Set $$F_k = E_k \setminus \big[\bigcup_{1}^{k-1}E_j\big] = E_k \cap \big[\bigcup_{1}^{k-1}E_j\big]^{c}$$ Entonces el $F_k$ \Las personas pertenecen a $A$ y son disjuntos, y $$\bigcup_{1}^{\infty}E_j = \bigcup_{1}^{\infty}F_k$$ Por lo tanto, $\bigcup_{1}^{\infty}E_j\in A$

No estoy seguro de que esto sea correcto, cualquier sugerencia es muy apreciada

Answer 1

Claramente un $\sigma$ -Álgebra, $\mathscr{A}$ en un conjunto $X$ es, por definición, cerrado bajo "todo tipo de" uniones contables de conjuntos que pertenecen a $\mathscr{A}$ .

Supongamos ahora que $\mathscr{A}$ es un álgebra sobre $X$ que es cerrado bajo uniones crecientes contables.

Elige una secuencia arbitraria de conjuntos $\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A}$ y considerar la secuencia $\left\{B_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}$ definido por $$B_{k}= \bigcup_{n=1}^{k}A_{n}$$

Ahora sí $B_{k}\subseteq B_{k+1}$ y $B_{k}\in \mathscr{A}$ para todos $k\geq1$ ya que $\mathscr{A}$ es un álgebra. Además $$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\in \mathscr{A}$$

que termina la prueba.