Pregunta en Álgebra Lineal Introductoria

Question

Necesito realmente ayuda con esta pregunta. Estoy en un curso introductorio de álgebra lineal. Si ustedes pudieran ayudarme, lo apreciaría mucho. Aquí está la pregunta:

Un gran edificio de apartamentos se va a construir utilizando técnicas de construcción modular. La disposición de los apartamentos en cualquier piso en particular debe ser elegida de uno de los tres planes básicos de piso.

• Cada piso del plan A incluye: 3 unidades de tres dormitorios, 7 unidades de dos dormitorios y 8 unidades de un dormitorio.
• Cada piso del plan B incluye 4 unidades de tres dormitorios, 4 unidades de dos dormitorios y 8 unidades de un dormitorio.
• Cada piso del plan C incluye: 5 unidades de tres dormitorios, 3 unidades de dos dormitorios y 9 unidades de un dormitorio.

Suponga que el edificio contiene un total de $x_1$ pisos del plan A, $x_2$ pisos del plan B y $x_3$ pisos del plan C.

¿Es posible diseñar el edificio con exactamente 66 unidades de tres dormitorios, 14 unidades de dos dormitorios y 136 unidades de un dormitorio?

Si se puede hacer, enumere dos formas diferentes de diseñar el edificio y si no, explique por qué.

Answer 1

Piensa en esto en el contexto de un sistema de ecuaciones lineales...

Plan A = (3,7,8) Plan B = (4,4,8) Plan C = (5,3,9) Total = (66,14,136)

$$\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & 66 \\ 7 & 4 & 3 & 14 \\ 8 & 8 & 9 & 136 \\ \end{bmatrix}$$

¿Es este sistema consistente?

Answer 2

Pista: Podrías modelar el plan $A$ usando el vector $a = (3,7,8)^T$, donde $T$ significa transposición de matriz, por lo tanto, estoy usando vectores columna aquí.

¿Cómo puedes escribir tu condición de diseño usando esos vectores?

Answer 3

En los tres planos de planta, la mayor proporción de tres dormitorios : dos dormitorios es 5:3

pero la especificación es mayor que 4:1.

No hay forma de hacerlo a menos que puedas construir pisos negativos en algún plano.