Por favor, explique la definición de grupos cíclicos, etc.

Question

De las notas de mi profesor: "Decimos que un subconjunto $S\subseteq G$ genera $G$ es cualquier elemento $a\in G$ es el resultado de composiciones finitas de elementos en $S$ o sus inversos. Un grupo $G$ se llama cíclico si existe un elemento $a\in G$ que genera $G$ ."

Sigo sin entender bien la definición de "generar", "composiciones finitas" y "cíclicas" después de leer los párrafos. por favor, ayuda.

Answer 1

Quizás algunos ejemplos lo aclaren. Dejemos que $S = \{a,b,c\} \subseteq G$ .

$abac$ es una composición finita de elementos de $S$ . Aquí, "composición" no es más que otra palabra para designar la operación de grupo, quizá también la llames "multiplicación". Finito significa exactamente lo que crees que significa. Es una composición finita porque es una composición de cosas finitas. Otros ejemplos son $a$ , $bbb$ , $abcbabbaca$ .

No sólo estamos utilizando elementos de $S$ , estamos incluyendo "...elementos en $S$ o sus inversos. " Así que también permitimos $\{a^{-1},b^{-1},c^{-1}\}$ en nuestras composiciones finitas. Así que ahora se nos permite, por ejemplo $ab^{-1}cb^{-1}abb^{-1}aca^{-1}$ .

Así, $S \subseteq G$ genera $G$ si cada elemento de $G$ puede escribirse de la forma que acabamos de describir.

Un caso especial es cuando $S = \{a\}$ , en cuyo caso $G$ es simplemente todas las potencias de $a$ : $G = \{\ldots, a^{-2},a^{-1},e=a^0,a^1,a^2,\ldots\}$ (nota que $a$ puede tener un orden finito, por lo que $G$ puede seguir siendo finito). En este caso, decimos $G$ es cíclico.

Editar: Como se menciona en un comentario, " $a$ tiene un orden finito" significa que hay algún $n \in \mathbb{N}$ para que $a^n=e$ . En particular, este medio $a^{n+1}=a$ . Entonces $G$ (de arriba) se puede escribir como

\begin{align} G &= \{\ldots,a^{-2}, a^{-1},e=a^0,a^1,a^2,\ldots, a^{n-1},a^n=e,a^{n+1}=a,\ldots\} \\ &=\{\ldots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\ldots,a^{n-2},a^{n-1},e,a,a^2,\ldots \} \end{align}

Después de $n$ elementos, la lista se repite, o "cicla". Como los conjuntos no ven la repitición, podemos reescribir como

$$G = \{e,a,a^2,\ldots, a^{n-2},a^{n-1}\}$$

Por lo tanto, $G$ es finito.

Answer 2

Como se explica en otra respuesta, un subconjunto $S$ de un grupo $G$ genera $G$ si cada elemento de $G$ es un producto finito de elementos de $S$ o sus inversos. Permítanme explicar con más detalle por qué esa es la definición, ya que esta idea de "generación" aparece en muchos otros contextos.

Si $S \subseteq G$ podemos definir el subgrupo de $G$ generado por $S$ , denotado como $\langle S \rangle$ una vez que definimos esto, entonces $G$ es generado por $S$ precisamente si el subgrupo de $G$ generado por $S$ es, de hecho, todo $G$ (es decir, si $\langle S \rangle = G$ ). Entonces, ¿cómo definimos el subgrupo de $G$ generado por $S$ ? Es el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene todos los elementos de $S$ . Es decir, contiene $S$ junto con la cantidad mínima de otras cosas que necesitamos incluir para tener un subgrupo de $G$ . Es un subgrupo de $G$ que contiene $S$ y hay no otro subgrupo $H$ tal que $S \subseteq H \trianglelefteq \langle S \rangle$ .

Entonces, ¿cuál es la "cantidad mínima de otras cosas" que tenemos que añadir para $S$ para convertirlo en un subgrupo de $G$ ? Bueno, los subgrupos son cerrados bajo la toma de inversos, así que es mejor incluir el inverso de cada elemento de $S$ . Los subgrupos también son cerrados bajo la multiplicación (es decir, la operación de grupo de $G$ ), por lo que junto con los elementos de $S$ y sus inversos, también tenemos que incluir todos los productos finitos de elementos de $S$ y sus inversos. Sin embargo, esto es suficiente; hemos obtenido un subgrupo. Observa que es cerrado bajo la multiplicación; usando el ejemplo $S = \{a, b, c\}$ , si $abcca^{-1}b$ y $cb^{-1}a^{-1}b$ son dos productos finitos de elementos de $S$ y sus inversos, su producto $abcca^{-1}bcb^{-1}a^{-1}b$ es también un producto finito de elementos de $S$ y sus inversos. También es cerrado bajo la toma de inversos; por ejemplo, la inversa de $cb^{-1}a^{-1}b$ es $b^{-1}abc^{-1}$ (que también es un producto finito de elementos de $S$ y sus inversos). En resumen, hemos producido $\langle S \rangle$ añadiendo a $S$ sólo las cosas que necesitamos para que sea un subgrupo.

Por último, permítanme describir brevemente cómo se generaliza esta idea a otros contextos. En álgebra lineal, el subespacio $\langle S \rangle$ de un espacio vectorial $V$ abarcaba por $S$ de vectores es el subespacio más pequeño de $V$ que contiene $S$ . Los detalles son diferentes aquí, ya que los espacios vectoriales son diferentes a los grupos ( $\langle S \rangle$ comprende todas las combinaciones lineales de subconjuntos finitos de $S$ ), pero la idea central es la misma. En la teoría de los anillos, el ideal generado por un subconjunto de un anillo es el ideal más pequeño que contiene el subconjunto. En topología (o en el estudio de los espacios métricos), el cierre de un conjunto $A$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $A$ es, si se quiere, el "conjunto cerrado generado por $A$ ."