Afirmación sobre el Teorema de Rolle (¿cierto o falso?)

Question

Hay una afirmación, que creo que es falsa

Entre dos ceros distintos de un polinomio $p$ Hay un número $c$ tal que $p(c) = 0$ .

Este es mi razonamiento:

1. Un polinomio de grado par tiene una derivada de grado impar, por lo que no tiene raíz, en este caso el teorema falla.
2. La declaración no dice que haya al menos un número $c$ .

Por lo tanto, la afirmación falla. ¿Es correcto mi proceso de pensamiento?

Answer 1

Hay una afirmación, que creo que es falsa

Entre dos ceros distintos de un polinomio $p$ Hay un número $c$ tal que $p′(c) = 0$

Empezaré diciendo que una función que satisface las hipótesis del Teorema de Rolle tiene garantizadas sus conclusiones.

Un polinomio de grado par tiene una derivada de grado impar, por lo que no tiene raíz, en este caso el teorema falla.

Un polinomio de grado par tiene efectivamente una derivada de grado impar. Sin embargo, esto no implica la existencia (o no) de las raíces reales de una función.

Tomemos como ejemplo la función par $f(x) = x^2$ . Tiene una raíz real situada en $x = 0$ . Tiene un derivado impar $f'(x) = 2x$ .

Tiene un número infinito de intervalos $[a, b]$ tal que $f(a) = f(b)$ , todos los cuales satisfacen las hipótesis del Teorema de Rolle.

Answer 2

Piénselo así: suponga por contradicción que no hay ningún punto entre dos ceros de un polinomio, ya que la derivada es 0. Como la derivada es continua, entonces entre los dos ceros del polinomio la derivada debe ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Sin embargo, es evidente que no se puede tener un valor $a$ tal que $f(a)=0$ , aumentarlo un poco, y luego obtener un valor $b$ con $f(b)=0$ . Así se ha llegado a una contradicción.