Dado un modelo contable $M$ de la teoría de conjuntos y un orden parcial separativo sin átomos $\mathbb{P} \in M$ ¿podemos construir (en el universo real) $2^\omega$ muchos pares mutuamente $\mathbb{P}$ -filtros genéricos $\{ G_r : r \in \mathbb{R} \}$ ?
Si la CH se mantiene, la respuesta es sí. Recursivamente en los ordinales contables, construimos modelos $M_\alpha = M[G_\alpha]$ , donde $G_\alpha \subseteq \mathbb{P}$ cumple con todos los conjuntos densos en $\bigcup_{\beta<\alpha} M_\beta$ .
También podemos construir $2^\omega$ muchas extensiones genéricas distintas. Podemos construir (externamente) un árbol $T \subseteq \mathbb{P}$ , donde $T = \{ p_s : s \in 2^{<\omega} \}$ . Haga $T$ tal que: (a) Si $|s| = n$ entonces $p_s \in D_n$ , donde $\{ D_n : n \in \omega \}$ enumera los subconjuntos densos de $M$ . (b) Para $s$ un prefijo de $t$ , $p_s \geq p_t$ . (c) Para todos $s$ , $p_{s0} \perp p_{s1}$ . Todo verdadero $r$ determina una rama distinta a través de $T$ y un asociado $\mathbb{P}$ -Filtro genérico $G_r$ . Así que tenemos $2^\omega$ muchos filtros distintos, y como los modelos son contables, un argumento de encasillamiento muestra que debemos tener $2^\omega$ modelos distintos. Pero este argumento no demuestra que los filtros sean mutuamente genéricos.
