Una ecuación para derivar las formas de polarización de las ondas gravitacionales

Question

Cuando estaba leyendo Spacetime and Geometry An Introduction to General Relativity por Sean Carroll(Página 297,Ecuación 7.110), no pude resolver este problema de la manera adecuada para obtener una aproximación. La ecuación es $$\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} S^{1}=\frac{1}{2} S^{1} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\left(h_{+} e^{i k_{\sigma} x^{\sigma}}\right)$$ y el libro decía: "Estos pueden ser inmediatamente resueltos para ceder, al menor orden:" $$S^{1}=\left(1+\frac{1}{2} h_{+} e^{i k_{\sigma} x^{\sigma}}\right) S^{1}(0).$$

Mi ideal es reescribir esta ecuación como $$\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} S^{1}+\frac{1}{2} S^{1} \left(h_{+} k_0^2e^{i k_{\sigma} x^{\sigma}}\right)=0$$ y utilizar la serie para ampliar el término: $$h_{+} k_0^2e^{i k_{\sigma} x^{\sigma}}$$

Pero todavía tengo algunas preguntas sobre cómo expandir este término por series debido a la solución anterior.

Answer 1

Encuentro una forma de resolver este problema expandiendo la solución por series, supongamos que la solución se puede escribir como $$S^1(t) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n \exp(i nk_\sigma x^\sigma)$$ $a_n$ son números, la ecuación puede reescribirse como $$k_0^2\sum^{+\infty}_{n=1}n^2a_n\exp(ink_\sigma x^\sigma)=\frac{1}{2} h_{+}k_0^2\sum^{+\infty}_{n=0}a_n\exp(i(n+1)k_\sigma x^\sigma)$$ $$\sum^{+\infty}_{n=0}(n+1)^2a_{n+1}\exp(i(n+1)k_\sigma x^\sigma)=\frac{1}{2} h_{+}\sum^{+\infty}_{n=0}a_n\exp(i(n+1)k_\sigma x^\sigma) $$ Dado que las bases $\{\exp(int)\}$ son linealmente independientes, obtenemos: $$a_{n+1}=\frac{1}{2}\frac{a_n h_+}{(n+1)^2}$$ Y en campo débil, $|h_+|<<1$ , dejamos de lado los términos de orden superior: $$S^1(t) = a_0 + \frac{1}{2}a_0 h_+\exp(i k\sigma x^\sigma)$$ Utilice la condición inicial para obtener el $a_0 = S^1(0)$ Así obtenemos la respuesta.

Answer 2

El comentario "Estos pueden ser resueltos inmediatamente para rendir, al menor orden" debería sugerir que una solución mucho más simple es posible. Escribe $S^1=\color{red}{S^1(0)}(1+\delta)$ con $\delta\ll1$ así que $$\frac{\partial^2}{\partial t^2}\color{red}{S^1(0)}(1+\delta)=\frac12\color{red}{S^1(0)}\color{orange}{(1+\delta)}\frac{\partial^2}{\partial t^2}(h_+\exp ik_\sigma x^\sigma).$$ Cancela los factores rojos y descuida el naranja, es decir. $$\frac{\partial^2\delta}{\partial t^2}=\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\frac12h_+\exp ik_\sigma x^\sigma\right)\implies\delta=A+Bt+\frac12h_+\exp ik_\sigma x^\sigma.$$ Desde $\delta\ll1$ para todos $t$ , $A=B=0$ .