Si $|a|\ge 2$ , $|b|\ge 2$ , $P(x)=x^4-(a+b)x^3+(ab+2) x^2-(a+b)x+1$ demostrar que todas las raíces de $P(x)$ son reales

Question

Dada: $a,b\in \mathbb R$ , $|a|\ge 2$ , $|b|\ge 2$ , $$P(x)=x^4-(a+b)x^3+(ab+2) x^2-(a+b)x+1,$$

Probar o refutar: todas las raíces de $P(x)$ son reales.

De un concurso de matemáticas. El polinomio es recíproco, pero no veo cómo usar esto en la prueba, si es que es así, y he intentado usar la regla de los signos de Descartes, pero sin éxito. Estoy un poco perdido sobre cómo abordar el problema.

Se agradecen las sugerencias o soluciones. Lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

Sugerencia... sustituye $$u=x+\frac1x$$ después de dividirlo por $x^2$

(Este es el método habitual con polinomios palindrómicos)

Answer 2

Desde $$ P(x) = (x^2 - ax + 1)(x^2 - bx + 1), $$ y $|a|, |b| \geqslant 2$ entonces $P(x)$ sólo tiene raíces reales.

Answer 3

Dados los útiles consejos y sugerencias de David Quinn y Alex Francisco, intentaré una solución completa a mi pregunta, en aras de la exhaustividad.

En primer lugar, dividiendo $P(x)=x^4-(a+b)x^3+(ab+2)x^2-(a+b)x+1=0$ por $x^2$ obtenemos

$$x^2-(a+b)x+(ab+2)-(a+b)\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$ $$\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}-(a+b)(x+\frac{1}{x})+ab+2=0 $$ pero, como $\displaystyle (x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2,$ la ecuación anterior equivale a $$(x+\frac{1}{x})^2-2-(a+b)(x+\frac{1}{x})+ab+2=0$$ $$\Leftrightarrow u^2-(a+b)u+ab=0\text{with the substitution}u=x+\frac{1}{x},$$ con solución obvia $u=a$ y $u=b$ , valores reales por la suposición.

Ahora, como $u=x+\frac{1}{x}$ podemos resolver para $x$ al notar que $$u=\frac{x^2+1}{x}\Leftrightarrow x^2-ux+1=0$$ Por lo tanto, como $u=a$ y $u=b$ el polinomio original puede ser expresado por $$P(x)=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)=0,$$ y la condición $|a|\ge 2$ y $|b|\ge 2$ garantiza que las raíces de ambas ecuaciones (que son las raíces de $P(x)$ ) serán números reales, ya que el discriminante de cada polinomio de segundo orden será no negativo con esta condición.