Implicaciones de $\|Ax\|_1\leq \|Bx\|_1$

Question

Supongamos que $A,B\in\mathbb{R}^{m\times n}$ y $\|\cdot\|_1$ es la norma (vectorial) 1 definida como $\|x\|_1=\sum_{i=1}^n|x(i)|$ y la norma matricial inducida es $\|A\|_1=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1}=\sup_{\|x\|_1=1}\|Ax\|_1$ . Supongamos que:

$$\|Ax\|_1 \leq \|Bx\|_1, \forall x\in\mathbb{R}^n.$$

¿Qué implica esto sobre $A$ y $B$ ? Sólo puedo decir que si $n=m$ y $B$ es invertible, entonces podemos establecer $y=Bx$ así que $x=B^{-1}y$ por lo que la desigualdad anterior se convierte en

$$\|AB^{-1}y\|_1 \leq \|y\|_1, \forall x\in\mathbb{R}^n,$$

Por lo tanto,

$$\|AB^{-1}\|_{1}\leq 1.$$

Pero, me interesaría el caso en que $B$ no se supone que sea invertible y también puede no ser una matriz cuadrada.

Actualización: Toma $x\in\mathbb{R}^n$ y $x\neq 0$ entonces $\|x\|_1>0$ Así que $$\frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1}\leq\frac{\|Bx\|_1}{\|x\|_1},$$ y tomando el supremum sobre todos $x\neq 0$ obtenemos $$\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1}\leq\sup_{x\neq 0}\frac{\|Bx\|_1}{\|x\|_1} \Rightarrow\|A\|_1\leq\|B\|_1.$$

Answer 1

El caso no invertible no difiere mucho del caso invertible. Por un argumento similar al suyo, tenemos $\|AB^+y\|_1\le\|y\|_1$ para todos $y\in\mathbb{R}^m$ , donde $B^+$ denota el pseudoinverso de Moore-Penrose de $B$ . Por lo tanto, $\|AB^+\|_1\le1$ .