Producto de números "invertidos"

Question

Considera 2 números binarios cualesquiera, por ejemplo: 10101011 ; 11111101 y su producto, digamos P.

"Invertir" (imagen en espejo) todos los dígitos de los 2 números, por ejemplo 11010101 ; 10111111

y considerar su producto, digamos M.

Pregunta

¿Existe alguna relación matemática simple entre P y M? ¿Puedo obtener M sólo conociendo P?

PS. Por favor, asúmelo:

    The numbers always start and end with 1.
    The numbers have the same number of digits 
     or, even better, in any case the lengths of those 2 numbers are *known*

(Gracias al usuario2566092 por preguntar sobre las posibles limitaciones)

PS. Otra condición interesante, sugerida por las notas de Steve Kass, podría ser que P sea un semiprimo.

Answer 1

Considere $2^n = 100 \ldots 0 \times 100 \ldots 0$ en binario, donde cada número tiene una longitud $n/2$ . Si se invierten los dígitos de estos dos factores se obtiene $1 \times 1 = 1$ . Así que no hay manera de recuperar $n$ .

Answer 2

Asumiré que ambos números tienen la misma longitud. Si $A=a_n2^n+a_{n-1}2^{n-1}+\cdots +a_0$ , $B=b_n2^n+b_{n-1}2^{n-1}+\cdots +b_0$ entonces $$A\times B=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)2+\cdots (a_nb_n)2^{2n}$$ El producto de las inversiones sería $$A_R\times B_R=(a_nb_n)+(a_nb_{n-1}+a_{n-1}b_n)2+\cdots (a_0b_0)2^{2n}$$ En otras palabras, no llevan mientras se multiplican. Entonces, P y M serán inversos el uno del otro. En caso contrario, el contraejemplo dado en los comentarios parece demostrar que ninguna función de P dará lugar a M.

Answer 3

La mitad de la pregunta era "¿Puedo conseguir $M$ sólo conociendo $P$ ?" La respuesta a esta pregunta es no, incluso bajo la fuerte restricción de que los dos números originales tienen el mismo número de dígitos binarios (conocidos) y ambos comienzan y terminan con un $1$ .

Supongamos que hay dos números binarios de 11 bits $a$ y $b$ cuyo producto es $P=ab=2027025_{10}$ . ¿Cuál es el "producto espejo" de $a$ -invertido y $b$ -¿Invertido?

Bueno, podría ser que $a=10010000011_2$ y $b=11011011011_2$ porque el producto de estos números es $2027025_{10}$ . En este caso el producto espejo $M=11011011011_2*11000001001_2=2711475_{10}$ .

Pero también podría ser que $a=10111001101_2$ y $b=10101010101_2$ en cuyo caso el producto espejo es $M=10110011101_2*10101010101_2=1961505_{10}$

Este ejemplo demuestra que no se puede determinar $M$ de simplemente saber $P$ la longitud de los dos números, y el hecho de que ambos comienzan y terminan con un $1$ en binario.