Necesito demostrar que dada una orden de término $<$ y un ideal $I$ , si $\mathrm{in}_<(I)$ es radical, entonces $I$ es radical.
Se agradecería cualquier ayuda o pista, ya que no sé muy bien por dónde empezar, ya que conozco algunos datos diferentes sobre los ideales radicales.
Por el contexto, asumiré que sus ideales están en algún anillo polinómico $k[x_1,\ldots,x_n]$ . Por supuesto que siempre tienes $I\subseteq \sqrt{I}$ por lo que es la inclusión inversa la que tienes que probar.
Elija $f\in\sqrt{I}$ y supongamos que ya sabemos $g\in I$ para cualquier $g\in\sqrt{I}$ con un término inicial menor que $f$ .
Por definición, $f^m\in I$ para algún número entero positivo $m$ . Por otro lado, $\mathrm{in}(f^m)=\mathrm{in}(f)^m$ y, como $\mathrm{in}(I)$ es radical, tenemos $\mathrm{in}(f)\in \mathrm{in}(I)$ . Por lo tanto, hay un $h\in I$ con $\mathrm{in}(h)=\mathrm{in}(f)$ . Así, $g=f-h\in\sqrt{I}$ tiene un término inicial menor que $f$ y así $g\in I$ . Desde $g\in I$ y $h\in I$ concluimos que $f\in I$ .
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