Por término medio, ¿cuántas veces debo tirar un dado hasta obtener un $6$ ?

Question

Por término medio, ¿cuántas veces debo tirar un dado hasta obtener un $6$ ?

Esta pregunta la saqué de un libro llamado Fifty Challenging Problems in Probability.

La respuesta es $6$ Y entiendo la solución que me ha dado el libro. Sin embargo, quiero saber por qué la siguiente lógica no funciona: La posibilidad de que no obtengamos una $6$ es $5/6$ . Para encontrar el número de tiradas de dados necesarias, quiero la probabilidad de que haya un $6$ en $n$ rollos siendo $1/2$ para encontrar la media. Así que resuelvo la ecuación $(5/6)^n=1/2$ , lo que me da $n=3.8$ -ish. Ese número tiene sentido para mí intuitivamente, donde el número $6$ no tiene sentido de forma intuitiva. Siento que en promedio, necesitaría rodar alrededor de $3$ - $4$ veces para conseguir un $6$ . A veces, tendré que rodar menos de $3$ - $4$ veces, y a veces tendré que rodar más de $3$ - $4$ tiempos.

Tenga en cuenta que no estoy preguntando cómo resolver esta cuestión, sino qué es lo que falla en mi lógica anterior.

Gracias.

Answer 1

También puedes calcular la media de esta manera.

La probabilidad de sacar la primera $6$ en el $n$ -el rollo es $$\left[1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\right]-\left[1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\right]=\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$$

Así que la media ponderada sobre el número de rollos sería $$\sum_{n=1}^\infty \left(n\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\right]\right)=6$$

De nuevo, como ya se ha señalado, entra en juego la diferencia entre la media y la mediana. La distribución tiene una larga cola a la derecha que tira de la media a $6$ .

Para los que preguntan por este gráfico, se trata de la expresión anterior, sin la suma. No es acumulativa. (El gráfico acumulativo se nivelaría en $y=6$ ). Este gráfico es sólo $y=x\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}-(\left(\frac{5}{6}\right)^{x}\right]$

No es un gran gráfico, sinceramente, ya que es algo abstracto en lo que representa. Pero tomemos $x=4$ como ejemplo. Hay alrededor de un $0.0965$ posibilidad de obtener la primera tirada de un $6$ en el $4$ El rollo. Y como buscamos una media ponderada, se multiplica por $4$ para obtener el valor en $x=4$ . No significa mucho, excepto para ilustrar por qué el número medio de lanzamientos para conseguir el primer $6$ es mayor que alrededor de $3$ o $4.$

Puedes imaginar un experimento con $100$ ensayos. Acerca de $17$ veces sólo tardará $1$ tirar( $17$ lanzamientos). Acerca de $14$ veces que se necesitará $2$ lanza ( $28$ lanzamientos). Acerca de $11$ veces que se necesitará $3$ lanza( $33$ lanzamientos). Acerca de $9$ veces que se necesitará $4$ lanza( $36$ lanzamientos), etc. Entonces se sumarían TODOS esos lanzamientos y se dividirían por $100$ y obtener $\approx 6.$

Answer 2

La probabilidad del momento del primer éxito viene dada por el Distribución geométrica .

La fórmula de distribución es:

$$P(X=k) = pq^{n-1}$$

donde $q=1-p$ .

Es muy sencillo explicar esta fórmula. Supongamos que consideramos como un éxito obtener un 6 al lanzar un dado. Entonces la probabilidad de obtener un éxito en el primer intento es

$$P(X=1) = p = pq^0= \frac{1}{6}$$

Para conseguir un éxito en el segundo intento, tenemos que fallar una vez y luego conseguir nuestro 6:

$$P(X=2)=qp=pq^1=\frac{1}{6}\frac{5}{6}$$

y así sucesivamente.

El valor esperado de esta distribución responde a la siguiente pregunta: ¿cuántos intentos tengo que esperar antes de obtener mi primer éxito, como media? El valor esperado de la distribución geométrica es:

$$E(X)=\displaystyle\sum^\infty_{n=1}npq^{n-1}=\frac{1}{p}$$

o, en nuestro ejemplo, $6$ .

Editar: Estamos asumiendo múltiples intentos independientes con la misma probabilidad, obviamente.

Answer 3

Tu cálculo es casi correcto, pero está calculando lo incorrecto.

${(5/6)}^{n-1}$ es la probabilidad de que salga cualquier otro número al menos $n$ veces hasta sacando un seis. Si se pone esto en $1/2$ da:

$$n = \frac{-1}{\log_2 (5/6)}+1$$

Esta es la mediana de la distribución: el valor numérico que separa la mitad superior de la distribución de la mitad inferior.

No es el media (media).

Answer 4

El experimento es: tirar un dado hasta obtener un seis.

La mediana es $3.8:$ Esto significa que la mitad de las veces que realices este experimento obtendrás tus seis en menos de $3.8$ rollos y la mitad de las veces no lo harás.

El valor esperado es $6.$ Esto significa que si se realiza el experimento cien veces y se suman todas las tiradas de cada experimento se debería obtener alrededor de $600$ rollos totales. Así que se podría obtener el mismo total suponiendo que tuviéramos $6$ rollos en cada experimento.

Piénsalo así: aunque tengas un $50\%$ posibilidad de que tome menos de $3.8$ rollos todavía va a haber un montón de veces en las que se necesita $8, 9, 10$ o más. Esas cifras elevadas van a sesgar sus valores esperados y le dejarán una media de $6.$

La pregunta que has formulado es muy buena y va directamente al corazón de lo que entendemos por valor esperado.

Answer 5

La probabilidad de que algo ocurra en n tiradas podría ser 1/2, y ese número podría ser, por ejemplo, "10". ¿Qué pasaría si se diera una situación en la que la probabilidad de que el mismo evento ocurriera entre 1000 y 2000 veces fuera 1/2?

Todo lo anterior podría tener sentido, pero puedes ver que la media nunca va a ser de 10 solamente.

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Después de tu primera tirada, o bien obtienes un 6 y terminas en 1 (probabilidad 1/6), o bien obtienes un no-sex y vuelves a estar en la misma posición en la que estabas al principio, con la expectativa de que se necesiten otras E tiradas (más la que hiciste) - probabilidad (5/6)

E = 1/6 + 5/6(E + 1)

(1/6)E = 1

E = 6