Encontrar los vectores propios $T\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll}d & b \\ c & a\end{array}\right]$

Question

$V=$ $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ y $T\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll}d & b \\ c & a\end{array}\right]$

La matriz asociada a T es

$A= $$ \N - Izquierda[ \begin{array}{ll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \[derecho]$

Entonces podemos obtener los valores propios si intercambiamos $R_4$ a $R_1$

$A`= $$ \N - Izquierda[ \begin{array}{ll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \[derecho]$

Entonces el valor propio es 1 pero a partir de aquí estoy atascado para encontrar los vectores propios o ¿hay algo mal en mi proceso?

Answer 1

Los valores y vectores propios de $T$ se puede encontrar directamente a partir de la fórmula dada

$T \left ( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} d & b \\ c & a \end{bmatrix}, \tag 1$

porque tenemos

$T^2 \left ( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right ) = T \left ( \begin{bmatrix} d & b \\ c & a \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}; \tag 2$

así,

$T^2 = I, \tag 3$

o

$T^2 - I = 0; \tag 4$

si $\mu$ es un valor propio de $T$ es decir, si

$TZ = \mu Z\tag 5$

para algunos

$0 \ne Z \in M_{2 \times 2}(\Bbb R), \tag 6$

entonces

$T^2Z = T(TZ) = T(\mu Z) = \mu TZ = \mu (\mu Z) = \mu^2Z, \tag 7$

de donde

$(\mu^2 - 1)Z = \mu^2 Z - Z = T^2 Z - Z = (T^2 - I)Z = 0, \tag 8$

por lo que a la luz de (6) tenemos

$\mu^2 - 1 = 0, \tag 9$

lo que implica

$\mu = \pm 1; \tag{10}$

ahora si

$\mu = 1, \tag{11}$

$\begin{bmatrix} d & b \\ c & a \end{bmatrix} = T \left (\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right ) = \mu \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \tag{12}$

que obliga a

$a = d; \tag{13}$

una matriz propia para el valor propio $1$ tiene, por tanto, la forma

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}, \tag{14}$

donde $a, b, c \in \Bbb R$ son arbitrarios. Ahora es fácil ver que el $1$ -eigenspace de $T$ es de dimensión $3$ . Por otro lado, cuando

$\mu = -1, \tag{15}$

$\begin{bmatrix} d & b \\ c & a \end{bmatrix} = T \left (\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{bmatrix}, \tag{16}$

de donde,

$a = - d \tag{16}$

$b = -b, \; c = -c ,\Longrightarrow b = c = 0; \tag{17}$

la matriz propia se convierte así en

$\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{bmatrix}, \; a \in \Bbb R; \tag{18}$

está claro que el $-1$ eigenspace de $T$ es de dimensión $1$ .

Dado que la suma de las dimensiones del $1$ y $-1$ eigenspaces es

$4 = \dim M_{2 \times 2}(\Bbb R), \tag{19}$

concluimos que no hay más vectores propios/valores propios.

Answer 2

Las matrices $\begin{pmatrix} a & b\\ c & a\end{pmatrix}$ forman el eigespacio de dim 3 del valor propio 1. La matriz $diag(1,-1)$ es un vector propio con valor propio $-1$ . Abarca un espacio 1-dim de vectores propios. Dado que $1+3=4$ no hay otros vectores propios.