Determinación de los valores propios de una matriz

Question

Intento demostrar que la matriz $\left[ \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 0 & -1 & \cdots & \vdots\\ 0 & 1 & \ddots &\ddots &0\\ \vdots & 0 & \ddots & 0 &-1\\ 0 &\cdots &0 & 1 &0\end{array} \right]$ la matriz con un 1 en la posición diagonal superior, 1s en la subdiagonal y -1s en la superdiagonal, sólo tiene valores propios con parte real positiva. Inicialmente, pensé en utilizar transformaciones de similitud y la Ley de Inercia de Sylvester, pero luego me di cuenta de que SLoI requiere que la matriz sea simétrica.

Answer 1

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario. Los coeficientes de los polinomios característicos de la matriz anterior $A_n \in \mathbb R^{n\times n}$ para $n=2..10$ son los siguientes:

x^10  x^9   x^8   x^7   x^6   x^5   x^4   x^3   x^2    x     1

                                                 1    -1     1

                                           1    -1     2    -1

                                     1    -1     3    -2     1

                               1    -1     4    -3     3    -1

                         1    -1     5    -4     6    -3     1

                   1    -1     6    -5    10    -6     4    -1

             1    -1     7    -6    15   -10    10    -4     1

       1    -1     8    -7    21   -15    20   -10     5    -1

 1    -1     9    -8    28   -21    35   -20    15    -5     1

Tal vez esto ayude a encontrar una forma cerrada para $\chi_{A_n}$ y así ayudar a demostrarlo.

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EDIT: Los coeficientes se parecen vagamente al triángulo de Pascal. Concretamente $$a_{n+k,n-k} = \binom nk$$ Donde $a_{n,m}$ es el coeficiente de $x^m$ en $\chi_{A_n}$ . Además, los índices "impar" no son más que los coeficientes binomiales negativos: $$a_{n+k+1,n-k} = -\binom nk$$ El cambio de nombre del índice lleva a $$a_{n,m} = \binom{\frac{n+m}2}{\frac{n-m}2} \qquad n\equiv m \pmod2$$ y $$a_{n,m} = -\binom{\frac{n+m-1}2}{\frac{n-m-1}2} \qquad n\not\equiv m \pmod2$$