Flujo a través de un cono

Question

Calcular el flujo de $F=(x,y,z^4)$ a través del cono $z=\sqrt{x^2+y^2}, z \in [0,1]$ en la dirección descendente. (La respuesta es $\pi/3$.)

Para esta pregunta intenté usar el teorema de la divergencia: $\int\int_SF = \int\int\int_V\nabla F$

Obtuve $\nabla F = 2+4z^3$ y utilicé coordenadas cilíndricas: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_r^1(2+4z^3)rdzdrd\theta$ pero la respuesta que obtuve fue $4\pi/3$. ¿Es esto correcto o hice algo mal?

Answer 1

Observa primero que mediante el uso del Teorema de Gauss en realidad calculaste el flujo hacia afuera de la superficie

$$\left\{\left(x,y,\sqrt{x^2+y^2}\right)\right\}\cap\{\left(x,y,1\right)\}\subset\Bbb R^3$$

Sin la "tapadera" superior, solo tenemos el cono (abierto), y "hacia afuera" claramente significa hacia abajo.

La intersección del plano $\;z=1\;$ con el cono $\;z=\sqrt{x^2+y^2}\;$ es simplemente la superficie (de hecho, el círculo unitario "canónico" a la altura uno) $\;S:\;r(t)=(\cos t, \sin t, 1)\;,\;\;0\le t\le 2\pi\;$ , y como queríamos el flujo abajo del cono desde el principio, ahora debemos restar el flujo hacia arriba a través de la superficie mencionada anteriormente, por lo que obtenemos que el vector normal a ese círculo es claramente $\;\vec n=(0,0,1)\;$ , y así (usando coordenadas cilíndricas):

$$\vec F\cdot\vec n=z^4\implies \iint_S\vec F\cdot\vec n\;dS=\int_0^1\int_0^{2\pi} z^4\,r\,d\theta\,dr\stackrel{z=1\;\text{here}}=\int_0^1\int_0^{2\pi} r\,d\theta\,dr=\pi$$

y por lo tanto el flujo final es (de acuerdo a lo que ya obtuviste usando el Teorema de Gauss)

$$\frac{4\pi}3-\pi=\frac\pi3$$

Answer 2

Misma solución que "1 Respuesta" excepto:

La primera visualización es con una unión, no una intersección, y se especifica la restricción $x^2+y^2\le 1$. También, lo que se llama superficie $S$, la intersección de $z=1$ y el cono sólido $z \le \sqrt{x^2+y^2}$, está parametrizado por

$$r(a,t)=\langle a \cos(t),a \sin(t),1\rangle, \; 0 \le a \le 1, \; 0 \le t \le 1.$$