Operador unitario en un espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $U$ sea un operador unitario con $\langle Ux,x \rangle\ge 0\quad \forall x$ .

Demostrar que $U$ es el operador de identidad.

Para demostrar esta afirmación estoy razonando de esta manera:

desde $U$ es una isometría, $\langle Ux,Uy \rangle = \langle x,y \rangle$ es decir $U^*U=UU^*=I$ con $U^*$ el adjunto de $U$ .

Sé que $\langle Ux,Ux \rangle =\langle x,x \rangle \ge 0$ pero no sé cómo seguir.

¿Puede alguien ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Falso para escalares reales pero para escalares complejos aquí hay una prueba: $U$ implica positivamente $U^{*}=U$ en este caso, por lo que $U^{2}=I$ . Así, $(U-I)(U+I)=0$ . Pero $U+I$ es invertible por lo que $U-I=0$ .

[ $\sigma (U) \subseteq [0,\infty)$ desde $U$ es positivo y $\sigma (U) \subseteq S^{1}$ desde $U$ es unitaria. Por lo tanto, $\sigma (U) \subseteq\{1\}$ que muestra que $-1 \notin \sigma (U) $ . Por lo tanto, $U+I$ es invertible].