El sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales está formado por conjuntos de elipses e hipérbolas confocales.
Pero, no he encontrado ningún libro que describa esto cómo utilizar este sistema de coordenadas y dónde utilizarlo . La definición citada sólo la obtuve de la obra Mecánica Newtoniana de A.P. French.
¿Tiene alguna utilidad en la mecánica newtoniana? ¿Cómo debo utilizarlo? Por favor, ayuda.
Las coordenadas que usted describe no son más que un caso especial de las coordenadas curvilíneas ortogonales y se conocen, como es lógico, como Coordenadas elípticas .
Eran más útiles en la época anterior a la generalización de la informática, cuando las soluciones analíticas de los problemas físicos eran más necesarias para ayudar, Por ejemplo visualizar sistemas ligeramente excéntricos, es decir los nominalmente circulares pero ligeramente desviados.
Son útiles, por ejemplo, para resolver la ecuación de Helmholtz para una guía de ondas de sección elíptica.
Otra interpretación física es que las elipses son las superficies equipotenciales y las hipérbolas las líneas de campo para un campo electrostático de una placa delgada y cargada que se extiende entre $(-1,\,0)$ y $(1,\,0)$ .
La ecuación de Laplace para estas coordenadas no cambia de forma, lo que resulta de la siguiente propiedad interesante. Estas coordenadas son especiales entre las coordenadas ortogonales en la medida en que pueden visualizarse como las superficies de nivel de una función compleja holomorfa, en este caso $\Omega:\mathbb{C}\to\mathbb{C};\;\Omega(z)=\cosh z$ . Las curvas de nivel $\mathrm{Re}(\Omega(z))=\textrm{const}$ en el $z$ -son las hipérbolas, mientras que las curvas $\mathrm{Im}(\Omega(z))=\textrm{const}$ son las elipses. Nótese que tales curvas de nivel para funciones holomorfas son siempre ortogonales, pero no todo sistema de familias de curvas ortogonales son curvas de nivel de funciones holomorfas. Un trabajo interesante sobre este tema es:
Coordenadas curvilíneas son un sistema de coordenadas donde las líneas de coordenadas pueden ser curvas. Un sistema de coordenadas cartesianas ofrece la ventaja única de que los tres vectores unitarios, x, y y z, son constantes tanto en dirección como en magnitud. Por desgracia, no todos los problemas físicos se adaptan bien a la solución en coordenadas cartesianas.
Por ejemplo, si tenemos un problema de fuerza central, como la fuerza gravitacional o electrostática, las coordenadas cartesianas pueden ser inusualmente inapropiadas. Dependiendo de la aplicación, un sistema de coordenadas curvilíneas puede ser más sencillo de utilizar que el sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, un problema físico con simetría esférica definido en R3 (por ejemplo, el movimiento de partículas bajo la influencia de fuerzas centrales) suele ser más fácil de resolver en coordenadas polares esféricas que en coordenadas cartesianas.
La cuestión es que el sistema de coordenadas debe elegirse para ajustarse al problema, para explotar cualquier restricción o simetría presente en él. Entonces, con suerte, será más fácilmente soluble que si lo hubiéramos forzado en un marco cartesiano.
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