Dejemos que $X$ ser un $n \times 2$ matriz con la columna 1 como columna de todos los 1's y la columna 2 una columna de variables aleatorias IID $Z_1, Z_2,....Z_n$ donde $Z_i$ tiene una distribución Bernoulli con el parámetro $\theta$
¿Qué es la
$$\textrm{p}\lim_{n\to \infty } XX/n$$ ?
Donde $\textrm{p}\lim$ es convergencia en probabilidad .
La matriz resultante será, por supuesto, una $2 \times 2$ matriz con el primer elemento como 1, el segundo elemento de la primera fila y el primer elemento de la segunda fila son $\frac{1}{n}\sum_i Z_i$ y el último elemento es $\frac{1}{n}\sum_i(Z_i)^2$ . ¿Qué es el $\textrm{p}\lim$ de esta matriz? ¿Y qué valor de $n$ ¿lo hará singular?
Sé que desde el $Z$ son variables Bernoulli, su suma sigue una distribución binomial y tendrá segundos momentos finitos. El $\textrm{p}\lim$ será, por tanto, una matriz definida positiva. Pero no sé cuál será la matriz. ¿Puede alguien ayudarme?