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Plims de matrices - plim X'X/n =Q

Dejemos que X ser un n×2 matriz con la columna 1 como columna de todos los 1's y la columna 2 una columna de variables aleatorias IID Z1,Z2,....Zn donde Zi tiene una distribución Bernoulli con el parámetro θ

¿Qué es la

plim ?

Donde \textrm{p}\lim es convergencia en probabilidad .

La matriz resultante será, por supuesto, una 2 \times 2 matriz con el primer elemento como 1, el segundo elemento de la primera fila y el primer elemento de la segunda fila son \frac{1}{n}\sum_i Z_i y el último elemento es \frac{1}{n}\sum_i(Z_i)^2 . ¿Qué es el \textrm{p}\lim de esta matriz? ¿Y qué valor de n ¿lo hará singular?

Sé que desde el Z son variables Bernoulli, su suma sigue una distribución binomial y tendrá segundos momentos finitos. El \textrm{p}\lim será, por tanto, una matriz definida positiva. Pero no sé cuál será la matriz. ¿Puede alguien ayudarme?

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Aaron Puntos 36

Denotemos la media muestral por \bar{Z}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i . Ampliando la expresión pertinente para su matriz de diseño, puede demostrar fácilmente que:

\frac{\mathbf{X}' \mathbf{X}}{n} = \begin{bmatrix} 1 & \bar{Z}_n \\ \bar{Z}_n & \bar{Z}_n \\ \end{bmatrix}.

(Obsérvese aquí que Z_i es binario, por lo que tiene \sum Z_i^2 = \sum Z_i , lo que permite simplificar el último elemento de la matriz a la forma anterior). Dado que Z_1, Z_2, Z_3, ... \sim \text{IID Bern}(\theta) se deduce de la ley de los grandes números débil que \text{plim}_{n \rightarrow \infty} \bar{Z}_n = \theta lo que significa que tienes:

\underset{n \rightarrow \infty}{\text{plim}} \text{ } \frac{\mathbf{X}' \mathbf{X}}{n} = \begin{bmatrix} 1 & \theta \\ \theta & \theta \\ \end{bmatrix}.

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