Plims de matrices - plim X'X/n =Q

Question

Dejemos que $X$ ser un $n \times 2$ matriz con la columna 1 como columna de todos los 1's y la columna 2 una columna de variables aleatorias IID $Z_1, Z_2,....Z_n$ donde $Z_i$ tiene una distribución Bernoulli con el parámetro $\theta$

¿Qué es la

$$\textrm{p}\lim_{n\to \infty } XX/n$$ ?

Donde $\textrm{p}\lim$ es convergencia en probabilidad .

La matriz resultante será, por supuesto, una $2 \times 2$ matriz con el primer elemento como 1, el segundo elemento de la primera fila y el primer elemento de la segunda fila son $\frac{1}{n}\sum_i Z_i$ y el último elemento es $\frac{1}{n}\sum_i(Z_i)^2$ . ¿Qué es el $\textrm{p}\lim$ de esta matriz? ¿Y qué valor de $n$ ¿lo hará singular?

Sé que desde el $Z$ son variables Bernoulli, su suma sigue una distribución binomial y tendrá segundos momentos finitos. El $\textrm{p}\lim$ será, por tanto, una matriz definida positiva. Pero no sé cuál será la matriz. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Denotemos la media muestral por $\bar{Z}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i$ . Ampliando la expresión pertinente para su matriz de diseño, puede demostrar fácilmente que:

$$\frac{\mathbf{X}' \mathbf{X}}{n} = \begin{bmatrix} 1 & \bar{Z}_n \\ \bar{Z}_n & \bar{Z}_n \\ \end{bmatrix}.$$

(Obsérvese aquí que $Z_i$ es binario, por lo que tiene $\sum Z_i^2 = \sum Z_i$ , lo que permite simplificar el último elemento de la matriz a la forma anterior). Dado que $Z_1, Z_2, Z_3, ... \sim \text{IID Bern}(\theta)$ se deduce de la ley de los grandes números débil que $\text{plim}_{n \rightarrow \infty} \bar{Z}_n = \theta$ lo que significa que tienes:

$$\underset{n \rightarrow \infty}{\text{plim}} \text{ } \frac{\mathbf{X}' \mathbf{X}}{n} = \begin{bmatrix} 1 & \theta \\ \theta & \theta \\ \end{bmatrix}.$$