Demuestre que un subgrupo es isomorfo a $S_{n-1}$

Question

Q: Si $ H = \{ \sigma \in S_n : \sigma(n) = n \} $ es un subgrupo de $S_n$ entonces demuestre que $H \simeq S_{n-1}$ .

Sé que cualquier grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico. Pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Siguiendo la sugerencia de Tara B, pongo mi comentario como respuesta:

Piensa en $S_n$ como el grupo de biyecciones de $\{1,\dots,n\}$ a sí mismo con la composición como la multiplicación del grupo. ¿Qué hace una biyección que fija $n$ ¿hacer? Debe dar una biyección desde $\{1,\dots,n-1\}$ a sí mismo. A la inversa, toda biyección de $\{1,\dots,n-1\}$ da una biyección de $\{1,\dots,n\}$ fijación de $n$ ...así que...