Resolver la ' fácil ' $(1 - \phi^2)\phi'' + \phi(\phi')^2 =0$ de la ecuación diferencial.

Question

Necesito resolver lo siguiente:

$$(1 - \phi^2)\phi'' + \phi(\phi')^2 =0.$$

¿Hay cualquier método estándar que puedo usar?

Answer 1

Sólo un montón de patrones y la manipulación. Escribir la ecuación como

$$\frac{\phi''}{\phi'} = -\frac{\phi \, \phi'}{1-\phi^2}$$

Esto puede ser escrito como

$$\frac{d}{dx} \log{\phi'} = \frac12 \frac{d}{dx} \log{(1-\phi^2)}$$

Esto puede ser integrado y posteriormente exponentiated para producir

$$\phi' = A \left (1-\phi^2\right)^{1/2}$$

donde $A$ es una constante de integración. Entonces podemos reescribir esta ecuación diferencial de la forma como

$$\frac{d\phi}{\left (1-\phi^2\right)^{1/2}} = A \, dx$$

que se integra a

$$\arcsin{\phi} = A x + B$$

donde $B$ es otra constante de integración. La solución a la ecuación de arriba es entonces

$$\phi(x) = \sin{(A x+B)}$$

Usted puede verificar que esto es de hecho la solución al enchufarlo de nuevo en la ecuación original.