Desigualdad de Poincaré para $H_{0}^{1}(\Omega)$

Question

Dejemos que $\Omega\subset\mathbb{R}^{n},$ abierta, conectada y limitada. Entonces existen $c=c(\Omega)>0$ tal que $$\int_{\Omega}|u|^2 dx \leq c\int_{\Omega}|\nabla u|^2 dx,$$ para todos $u \in H_{0}^{1}(\Omega).$

En este caso, diam( $\Omega)<\infty.$ Entonces $\Omega\subset \{(x_{1},\dots,x_{n} | \ |x_{1}|<\text{diam}(\Omega)\}.$ Por lo tanto, existen $c>0$ tal que $$\int_{\Omega}|u|^2 dx \leq c\int_{\Omega}|\nabla u|^2 dx,$$ para todos $u\in C_{0}^{\infty}(\Omega).$

Pero cómo hacerlo para $u \in H_{0}^{1}(\Omega)?$ Sé que $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ es denso en $H_{0}^{1}(\Omega).$ Creo que podemos hacerlo por aproximación, pero yo no podría.

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Dejemos que $u \in H_0^1(\Omega)$ y que $u_n \to u$ en $H_0^1(\Omega)$ con $u_n \in C_0^\infty(\Omega)$ . Por la afirmación para funciones suaves, tenemos $$ \int_\Omega |u_n|^2 \leq C \int_\Omega |\nabla u_n|^2 $$ para cada $n$ . ¿Qué pasa si tomamos un límite?