Hacer un truco de magia con memoria limitada (de un curso de resolución de problemas)

Question

Me hicieron la siguiente pregunta en un curso de resolución de problemas:

Hay cuatro objetos diferentes en los lugares 1, 2, 3 y 4. Un mago cierra los ojos y viene alguien del público. Cambia los pares de objetos 10 veces, y cada vez grita los lugares que ha cambiado. Luego hace un cambio secreto y no le dice al mago los lugares. Luego cambia otras 10 veces y grita los lugares como antes. El mago abre los ojos, mira los objetos y señala uno de los objetos que participó en el cambio secreto.
El mago tiene mala memoria, por lo que sólo puede recordar un número entre el 1 y el 10. ¿Cómo lo hace?

Mi dirección no es encontrar el interruptor secreto en sí, pero 2-3 opciones con un objeto mutuo y elegir ese objeto, pero no puedo averiguar cómo.

Answer 1

En realidad, hay una forma razonablemente sencilla de hacerlo, recordando un número entero entre $-4$ y $4$ . Es realmente un módulo entre $1$ y $4$ y un signo, que deben ser rastreados independientemente; en realidad es más fácil que recordar un número entre $1$ y $10$ (aunque si el mago no puede recordar los números negativos, puede sustituirlos por $5,6,7,8$ para $-1,-2,-3,-4$ ).

El módulo es la posición en la que el objeto $1$ debería ser, sin tener en cuenta el interruptor secreto. Así, cada vez que el mago escucha un par de números y uno de ellos es el módulo que tiene en mente, cambia su módulo por el otro número. Tiene $2$ en la mente y en los oídos $2,4$ ? Se concentra en $4$ . Tiene $3$ en la mente y en los oídos $1,3$ ? Se concentra en $1$ . Tiene $4$ en la mente y en los oídos $1,3$ ? Sigue concentrándose en $4$ .

El signo se conmuta siempre que el mago oiga un par impar, de lo contrario se deja sin conmutar. Tiene $-1$ en la mente y en los oídos $2,3$ ? Se concentra en $1$ . Tiene $-4$ en la mente y en los oídos $2,4$ ? Se concentra en $-2$ . (¡No cambia de signo, pero sí de módulo!)

El mago comienza con el número $1$ en mente y sigue las dos reglas anteriores, siguiendo la (supuesta) posición del objeto $1$ en el módulo, y cambiando el signo al escuchar los interruptores Impares. Al final del juego:

1. Comprueba la posición que tiene en mente. Si no ve el objeto $1$ señala el objeto $1$ .
2. De lo contrario, se pregunta si ninguno de los objetos o ambos $1$ y $3$ están en una posición impar. Si la respuesta y el signo coinciden, es decir, ambos son positivos o ambos negativos, señala el objeto $2$ .
3. Por otra parte, señala el objeto $3$ .

Demostremos que funciona. En primer lugar, es bastante obvio que el objeto $1$ es donde el mago lo busca si y sólo si se quedó solo durante el cambio secreto. Si no es así, el mago puede señalar el objeto $1$ .

Si no, considere la paridad del número de interruptores Impares necesarios para llevar cada objeto a la posición inicial: es $0$ si y sólo si ambos o ninguno $1$ y $3$ están en una posición impar (incluso al principio de la partida), y obviamente cambia si y sólo si hay un cambio impar-par. Así que tanto la respuesta a la pregunta "son ambos o ninguno...", como el signo del número que el mago recuerda, son positivos o negativos dependiendo de si había un número par o impar de interruptores de paridad respectivamente en la habitación y en los interruptores "llamados"; el interruptor secreto era un interruptor impar-par si y sólo si no están de acuerdo. Si están de acuerdo, el interruptor debe haber sido entre $2$ y $4$ ya que no implicaba $1$ para que el mago pueda señalar $2$ . Si están de acuerdo, el cambio debe haber implicado $3$ ya que, de nuevo, no implicaba $1$ - para que el mago pueda señalar $3$ .

Answer 2

Esto es más un resumen que una respuesta, porque la respuesta podría ser que es imposible.

En primer lugar, supondremos que el mago sólo puede recordar números enteros, pero que por lo demás tiene una mente muy afinada.

Podemos recordar que las transposiciones son generalmente no conmutativas.

Para almacenar la información que necesita el mago, veo tres opciones, ninguna de las cuales utiliza toda la cuota de $10$ :

• el mago recuerda la permutación de $123$
• el mago recuerda la posición de $4$ y la paridad de $123$
• el mago recuerda el último dígito y la paridad de los dígitos restantes

Dependiendo de lo inteligente que sea el mago, calcula cada una de las posibles $24$ resultados en el punto medio. Sin embargo, esto podría no ser necesario, ya que sólo se les pide que identifiquen uno de los dos objetos afectados por el cambio secreto.

Así que tenemos que determinar si esto es posible o no.