En realidad, hay una forma razonablemente sencilla de hacerlo, recordando un número entero entre $-4$ y $4$ . Es realmente un módulo entre $1$ y $4$ y un signo, que deben ser rastreados independientemente; en realidad es más fácil que recordar un número entre $1$ y $10$ (aunque si el mago no puede recordar los números negativos, puede sustituirlos por $5,6,7,8$ para $-1,-2,-3,-4$ ).
El módulo es la posición en la que el objeto $1$ debería ser, sin tener en cuenta el interruptor secreto. Así, cada vez que el mago escucha un par de números y uno de ellos es el módulo que tiene en mente, cambia su módulo por el otro número. Tiene $2$ en la mente y en los oídos $2,4$ ? Se concentra en $4$ . Tiene $3$ en la mente y en los oídos $1,3$ ? Se concentra en $1$ . Tiene $4$ en la mente y en los oídos $1,3$ ? Sigue concentrándose en $4$ .
El signo se conmuta siempre que el mago oiga un par impar, de lo contrario se deja sin conmutar. Tiene $-1$ en la mente y en los oídos $2,3$ ? Se concentra en $1$ . Tiene $-4$ en la mente y en los oídos $2,4$ ? Se concentra en $-2$ . (¡No cambia de signo, pero sí de módulo!)
El mago comienza con el número $1$ en mente y sigue las dos reglas anteriores, siguiendo la (supuesta) posición del objeto $1$ en el módulo, y cambiando el signo al escuchar los interruptores Impares. Al final del juego:
- Comprueba la posición que tiene en mente. Si no ve el objeto $1$ señala el objeto $1$ .
- De lo contrario, se pregunta si ninguno de los objetos o ambos $1$ y $3$ están en una posición impar. Si la respuesta y el signo coinciden, es decir, ambos son positivos o ambos negativos, señala el objeto $2$ .
- Por otra parte, señala el objeto $3$ .
Demostremos que funciona. En primer lugar, es bastante obvio que el objeto $1$ es donde el mago lo busca si y sólo si se quedó solo durante el cambio secreto. Si no es así, el mago puede señalar el objeto $1$ .
Si no, considere la paridad del número de interruptores Impares necesarios para llevar cada objeto a la posición inicial: es $0$ si y sólo si ambos o ninguno $1$ y $3$ están en una posición impar (incluso al principio de la partida), y obviamente cambia si y sólo si hay un cambio impar-par. Así que tanto la respuesta a la pregunta "son ambos o ninguno...", como el signo del número que el mago recuerda, son positivos o negativos dependiendo de si había un número par o impar de interruptores de paridad respectivamente en la habitación y en los interruptores "llamados"; el interruptor secreto era un interruptor impar-par si y sólo si no están de acuerdo. Si están de acuerdo, el interruptor debe haber sido entre $2$ y $4$ ya que no implicaba $1$ para que el mago pueda señalar $2$ . Si están de acuerdo, el cambio debe haber implicado $3$ ya que, de nuevo, no implicaba $1$ - para que el mago pueda señalar $3$ .
