Prueba $\cos x \cosh x +1=0$ tiene infinitas raíces reales.

Question

Prueba $\cos x \cosh x +1=0$ tiene infinitas raíces reales. Intenté escribir $$\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ Pero no puede ir más allá.

Este problema tiene la parte (b), demostrar para grandes $x$ la raíz se aproximan a las de $\cos x=0$ . Como no sé cómo demostrar la parte (a), no he mirado la parte (b) todavía...

Answer 1

Tenga en cuenta que para los múltiplos de impar de $\pi$ , $f(x)=\cosh x \cos x + 1$ es negativo (ya que $\cos x =-1$ y $\cosh x >1$ para $|x|>1$ ), y a múltiplos incluso de $\pi$ es positivo ya que $\cos x=1$ y utilizando una razón similar a la anterior.

Claramente, $f(x)$ es continua y cambia de signo en el intervalo $[\pi k,\pi k + \pi]$ para los enteros $k$ por lo que contiene un cero en cada uno de esos intervalos (que son infinitos).