Cómo probar $ \lim_{z\rightarrow z_0 }f(z)=w_0\; \iff \; \lim_{\Delta z\rightarrow 0 }f(z_0+\Delta z)=w_0\, ?$

Question

Cómo demostrar que

$$ \lim_{z\rightarrow z_0 }f(z)=w_0\quad \iff \quad \lim_{\Delta z\rightarrow 0 }f(z_0+\Delta z)=w_0\, ?$$

Answer 1

Supongamos que $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=w_0$ . Arreglar $\varepsilon>0$ . Existe $\delta>0$ s.t. $|z-z_0|<\delta$ implica $|f(z)-w_0|<\varepsilon$ . Ahora toma $|\Delta z|<\delta$ y tomar $z=z_0+\Delta z$ . Tenemos $|z-z_0|=|\Delta z|<\delta$ Así que $$|f(z)-w_0|=|f(z_0+\Delta z)-w_0|<\varepsilon,$$ lo que demuestra que $\lim\limits_{\Delta z\to 0}f(z_0+\Delta z)=w_0$ . En la prueba de la implicación inversa utilizamos un truco análogo.

Answer 2

Puedes utilizar la definición de límite: