Para lo cual $n$ es el grupo simétrico $S_n$ un subgrupo del grupo ortogonal especial $SO(3)$ ?

Question

Para lo cual $n$ es el grupo simétrico $S_n$ un subgrupo del grupo ortogonal especial $SO(3)$ ? Por ejemplo, esto es válido para $n4$ Sin embargo, no sé si esto es válido para $n=5$ o lo que sucede para los más grandes $n$ .

Answer 1

Esta cuestión puede atacarse como una pregunta sobre los subgrupos finitos de $SO(3)$ o como una pregunta sobre la teoría de la representación de $S_n$ . Cada uno de estos enfoques demostrará que $S_n \hookrightarrow SO(3)$ si $n \le 4$ .

Subgrupos finitos: Es un resultado clásico que la lista completa de subgrupos finitos de $SO(3)$ es la siguiente:

• los grupos cíclicos $C_n$ ,
• los grupos diédricos $D_n$ ,
• el grupo tetraédrico $A_4$ ,
• el grupo octaédrico $S_4$ o
• el grupo icosaédrico $A_5$ .

$S_4$ aparece en esta lista pero $S_n$ no para $n \ge 5$ .

Teoría de la representación: El grupo simétrico $S_n$ es conocido para tener la propiedad de que la representación fiel de menor dimensión tiene dimensión $n-1$ para $n \ge 5$ como señala Reuns en los comentarios.