Mapa lineal : Matriz de transformación

Question

Tenemos las matrices \begin{equation*}A_1:=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} , \ \ A_2:= \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\end{equation*} Consideramos los mapas lineales $F_i:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ , $\vec{x}\mapsto A_i\vec{x}$ para $i=1,2$ .

Los mapas $F_2\circ F_1$ y $F_1\circ F_2$ no son iguales, ¿verdad?

Para definir la matriz del mapa correspondiente, ¿se multiplican las dos matrices?

Answer 1

Para $F_i:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ , $F_1 \circ F_2$ y $F_2 \circ F_1$ son diferentes. La matriz es una abreviatura(/representación) de la transformación lineal, por lo que te sugiero que multipliques ambas matrices en sus respectivos órdenes y calcules dónde se envían $(x,y)$ para que puedas observar que la composición de la transformación lineal es la multiplicación de las respectivas matrices.

Answer 2

Eso es correcto.

Un punto que vale la pena señalar:

$$\begin{bmatrix} \color{red}{\lambda_1} & 0 \\ 0 & \color{blue}{\lambda2} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}{\lambda_1} a & \color{red}{\lambda_1} b \\ \color{blue}{\lambda_2} c & \color{blue}{\lambda_2} d \end{bmatrix}$$

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \color{red}{\lambda_1} & 0 \\ 0 & \color{blue}{\lambda2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}{\lambda_1} a & \color{blue}{\lambda_2} b \\ \color{red}{\lambda_1} c & \color{blue}{\lambda_2} d \end{bmatrix}$$

Observe cómo filas se multiplican por $\lambda_1, \lambda_2$ cuando se multiplica por una matriz diagonal a la izquierda, mientras que columnas se multiplican $\lambda_1, \lambda_2$ cuando se multiplica por una matriz diagonal a la derecha.