Prueba de mínimos y máximos para $f(x)=(x^2+a)e^{-x}$

Question

Dada: $f(x)=(x^2+a)e^{-x}$

( $0\le x\le 2$ )

Demostrar que para $0<a<1$ hay mínimos y máximos para $f(x)$ .

Mi intento:

$f'(x)=e^{-x}(-x^2+2x-a)$ .

$f'(x)=0$ Así que $-x^2+2x-a=0$

$x=1\pm\sqrt{1-a}$ , para $a<1$ .

Pero cómo puedo mostrar para $a>0$ ?

Answer 1

La condición $a>0$ para garantizar que ambos puntos críticos se encuentran en $(0,2)$ . La condición $a<1$ es necesario para que exista una raíz cuadrada.

Tenemos $1-\sqrt{1-a}<1<2$ y $1+\sqrt{1-a}>0$ que es trivial. Ahora la desigualdad $1-\sqrt{1-a}>0$ equivale a $\sqrt{1-a}<1\iff 1-a<1\iff a>0$ . Que $1+\sqrt{1-a}<2$ resolvemos de la misma manera.

Answer 2

Sugerencia

Como usted sabe:

$$f'(x)=e^{-x}(-x^2+2x-a)$$

$$f'(x)=0 \rightarrow x=1 \pm \sqrt{1-a}$$

Si $0<a<1$ entonces $x \in \Bbb R$ y tienes dos puntos críticos. Para ver si son mínimos o máximos hay que calcular $f''(x)$ .

Ahora tienes que calcular

$$f''(x)=e^{-x}(x^2-4x+a+2)$$

$$f''(x)>0 \rightarrow x<2-\sqrt{2-a} \quad \text{or}\quad x>2+\sqrt{2-a} \quad (1)$$

$$f''(x)<0 \rightarrow 2-\sqrt{2-a}<x<2+\sqrt{2-a} \quad(2)$$

¿Puedes terminar?