isomorfismo de algunos anillos e intuición

Question

Demostré mediante una comprobación rutinaria que: dejemos $R$ sea un anillo conmutativo con unidad, $f$ sea $R$ -regular, $m$ sea un ideal máximo s.t. $f\in m$ . Entonces $(R/fR)_m\cong (R/fR)_{m/fR}$ como anillos con el isomorfismo $\overline{r}/{s}\mapsto \overline{r}/\overline{s} $ .

La comprobación rutinaria es tan obvia que apenas requiere esfuerzo. Incluso antes de conocer el problema, creo que es cierto.

Mi pregunta es si el isomorfismo es correcto. ¿Y hay algún tipo de intuición para reconocer isomorfismos como este?

Tengo dos preguntas. Espero que puedan responder

Answer 1

Se obtiene un isomorfismo $(R/fR)_{\mathfrak m}\simeq R_{\mathfrak m}\!\Bigm/\!\frac f1R_{\mathfrak m}$ considerando el diagrama conmutativo de las secuencias exactas $$\begin{array}{*{10}{c}} 0&\longrightarrow &R&\!\xrightarrow{\enspace\times f\enspace}&R&\xrightarrow{\quad\enspace}&R/fR&\longrightarrow 0 \\ &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\ 0&\longrightarrow &R_{\mathfrak m}&\!\xrightarrow{\enspace\smash{\times \frac f1}\enspace}&R_{\mathfrak m}&\xrightarrow{\quad\enspace}& (R/fR)_{\mathfrak m}&\longrightarrow 0 \end{array}$$

Answer 2

Personalmente, me resultaba convincente pensar en estos anillos de forma geométrica (si no conoces los esquemas, esto, por desgracia, será una tontería. Por supuesto, si lo sabes, quizá te siga pareciendo una tontería).

Observe que $R_m/fR_m$ es el anillo de funciones que se obtiene mediante

1. Considerando las funciones en $\operatorname {Spec}(R)$
2. Introduciendo los recíprocos que se permitan al restringir al punto $m$
3. Restringir a $V(f)$

Producimos $(R/fR)_{m/fR}$ por

1. Considerando las funciones en $\operatorname {Spec}(R)$
2. Restringir a $V(f)$
3. Introduciendo los recíprocos que se permitan al restringir al punto $m$

Que sean los mismos me parece muy natural.