La verdadera pregunta: Que $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ; $f(x,y_1,y_2)=x^3xy_1y_2+y_2^216$ . Demuestre que existe una función real diferenciable $g$ para que en algún barrio $(1,4)$ $$f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0 $$ Encuentre $g(1,4)$ y ${\partial^2g\over \partial x^2}(1,4).$ Mi teorema de la función implícita es: $$$$ $$ \{Se trata de un teorema implícito:} $$ $$ \a.)X,Y,Z ;Espacios de Banach, W\Nsubconjunto X\Nveces Y. b.)F:W a Z; F en C^1; F(a,b)=0.\N-El espacio de la vida. c.)D_yF(a,b):Y a Z -isomorfismo-Y-y-Z \N-fin {casos} $$ $Conclusions:$ $$There\ exists\ an \ open\ neighboorhood\ U(a)\in X,\ an \ open \ neighboor\ W'=W'(a,b)\subset W\subset X \times Y and\ a\ function\ f:U\to Y, that: $$ $$\begin {cases} 1.)(x,y)\in W';F(x,y)=0 \iff x\in U ;y=f(x);f(a)=b.\\ 2.)f\in C^1;f'(a)=-D_yF^{-1}\circ D_xF. \\ 3.)If\ F \in C^k \implies f\in C^k,(k\geq1). \end {cases}$$
Respuestas
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De hecho, hay tres funciones diferentes de este tipo $g$ .
Observación preliminar: Las letras $X$ y $Y$ en su formulación del teorema de la función implícita no corresponden a los nombres $x$ , $y_1$ , $y_2$ ¡de las variables en su ejemplo!
Se nos da la función $$f(x,y,z):=x^3-xyz+z^2-16$$ y están interesados en la "superficie" $S: \>f(x,y,z)=0$ en ${\Bbb R}^3$ . Para ser exactos, también se nos da el punto $P:=(1,4)$ en el $(y,z)$ -plano, y se les pide que presenten una parte adecuada de $S$ como un gráfico $$x=g(y,z)\qquad\bigl((y,z)\in U\bigr)\tag{1}$$ con $g$ definida en algún barrio $U$ de $P$ . Para encontrar puntos de $S$ proyectando a $P$ tenemos que resolver la ecuación $$\phi(x):=f(x,1,4)=x^3-4x=0$$ para $x$ . De ello se desprende que $x\in\{-2,0,2\}$ lo que significa que tres puntos diferentes de $S$ proyecto para $P$ . A continuación consideramos el punto $(2,1,4)\in S$ Los otros dos pueden ser tratados de forma análoga.
Desde $f_x(2,1,4)=\phi'(2)=4\ne0$ el teorema de la función implícita garantiza lo siguiente: Existe una caja abierta $W:=V\times U\subset{\Bbb R}\times{\Bbb R}^2$ con centro $(2,1,4)$ (una "ventana") tal que $S\cap W$ tiene una representación de la forma $(1)$ con un $g\in C^1(U,V)$ y $g(1,4)=2$ . Esto implica $$f\bigl(g(y,z),y,z\bigr)\equiv0\qquad\bigl((y,z)\in U\bigr)\ .\tag{2}$$ Ahora aceptamos $(2)$ la derivada parcial con respecto a $y$ . Utilizando la regla de la cadena obtenemos $$f_x\bigl(g(y,z),y,z\bigr)g_y(y,z)+f_y\bigl(g(y,z),y,z\bigr)\cdot 1\equiv0\ ,$$ y poniendo $(y,z):=(1,4)$ obtenemos $$f_x(2,1,4)g_y(1,4)+f_y(2,1,4)=0\ ,$$ para que $$g_y(1,4)=-{f_y(2,1,4)\over f_x(2,1,4)}=-{-8\over 4}=2\ .$$ De forma similar, tomando la derivada parcial con respecto a $z$ obtenemos de $(2)$ la identidad $$f_x\bigl(g(y,z),y,z\bigr)g_z(y,z)+f_z\bigl(g(y,z),y,z\bigr)\cdot 1\equiv0\ ,$$ que para $(y,z):=(1,4)$ da $$g_z(1,4)=-{f_z(2,1,4)\over f_x(2,1,4)}=-{6\over4}=-{3\over2}\ .$$ Lo que se llama $g'(1,4)$ por lo tanto, se puede escribir como $$dg(1,4).(Y,Z)=2Y-{3\over2}Z\ .$$ La expresión ${\partial^2 g\over \partial x^2}(1,4)$ en tu pregunta no tiene sentido..
Voy a cambiar las anotaciones para una mejor comprensión. $$F(y_1,y_2,x)=x^3−xy_1y_2+y_2^2−16$$ $a=(1,4)=(y_1,y_2)\in X=R^2 ; b=0=x\in Y=R;Z=R$ (Z e Y deben tener las mismas dimensiones debido a la condición de isomorfismo en el teorema)Condición $1.\ and\ 2.$ se satisface obviamente porque los espacios reales son espacios de Banach y las derivadas parciales de $F$ también $\in C^1$ y $F(a,b)=0$ . Eso significa (por el teorema) que existe $g(a)=b; g\in C^1$ tal que : $g'(a)=-(D_yF(a,b))^{-1}\circ D_xF(a,b)=...-{4}$
