Una secuencia converge si y sólo si tiene exactamente un punto límite - ¿Cómo es esto cierto?

Question

Estoy siguiendo el libro de Optimización Numérica de Nocedal; en el Apéndice sobre Análisis y Topología me encontré con el argumento destacado:

Una secuencia converge implica que tiene un punto límite: Esto está bien, puedo demostrarlo por contradicción: Supongamos un punto límite arbitrario $x'$ que es diferente del punto convergente $x$ y demostrar que ambos no pueden coexistir.

Pero la equivalencia al revés me parece poco cierta: Una secuencia tiene exactamente un límite implica que converge.

Por ejemplo, si pensamos en una secuencia que tiene para cada impar $i$ , $1/i$ y por cada par $i$ , $2i+1$ entonces sólo tiene un punto límite, que es $0$ pero es evidente que no converge.

¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Te falta incluir los infinitos como posibles puntos límite.
Entonces tu secuencia tiene 2 puntos límite: $0$ y $+\infty$ .

Answer 2

Una prueba es la siguiente.

prueba

Aprovechamos la siguiente propiedad muy importante de los conjuntos compactos:

Toda secuencia de un espacio métrico compacto tiene una subsecuencia convergente.

(La mayoría de los contextos correspondientes reservan esto para la definición de compacidad, aunque la compacidad puede definirse de otras maneras, pero el resultado es el mismo)

Desde $\{x_k\}\in \Bbb R^n$ finalmente cae en $\{x\ \ |\ \ |x-r|\le \epsilon\}$ (debido a la definición de punto límite) para cualquier $\epsilon>0$ donde $r$ es el punto límite de $x_n$ y $\{x\ \ |\ \ |x-r|\le\epsilon\}$ es compacto, entonces $x_k$ tiene una subsecuencia convergente, a saber $a_n$ . Al quitarlo de $x_n$ podemos derivar otra subsecuencia convergente, a saber $b_n$ . Podemos seguir este procedimiento infinitas veces. Ahora dejemos que $x_n$ divergir. Entonces debe tienen al menos dos subsecuencias convergentes a dos valores diferentes (si no es así, es decir, si todas las subsecuencias convergentes tienden al mismo número, entonces también lo hará la propia secuencia). Entonces debemos tener al menos dos puntos límite, lo cual es obviamente una contradicción y la prueba termina.