Demuestra que los coeficientes de Fourier del coseno son absolutamente sumables.

Question

Dejemos que $(a_n)$ sean los coeficientes del coseno de Fourier de una función continua y suave a trozos $f$ en $[0,\pi].$ Demostrar que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$ converge.

Intento.

Para $n>0$ ya que $a_n=\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(x)\cos (nx)\,dx$ obtenemos: $$a_n=\frac{2}{n\pi}\bigg[f(x)\sin (nx)\Big|_0^\pi-\int\limits_0^\pi f'(x)\sin (nx)\,dx\bigg]=-\frac{2}{n\pi}\int\limits_0^\pi f'(x)\sin (nx)\,dx$$

y $$|a_n|\leq \frac{2}{n\pi}\int\limits_0^\pi |f'(x)|\,|\sin (nx)|\,dx\leq \frac{2M}{n\pi},$$ donde $|f'|\leq M$ en $[0,\pi].$ Pero como la serie $\displaystyle \sum\frac{1}{n}$ diverge no podemos utilizar la prueba de comparación de series.

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que suave aquí significa que existen todas las derivadas, no sólo la primera derivada. Si haces otra integración por partes utilizando la segunda derivada obtendrás $|a_n| \leq \frac C {n^{2}}$ para algunos $C$ .