Convergencia sin ecuaciones

Question

Dejemos que $f:[1,+\infty)\to \mathbb R$ sea una función tal que $$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = L$$

Demuestre que la secuencia $f(n)$ converge y $\lim \limits_{n \to\infty}f(n)=L$ . Encuentre un ejemplo que ilustre que lo contrario no es en general cierto.

No estoy muy seguro de lo que se pregunta, ¿cómo puedo mostrar la convergencia sin conocer la ecuación o $\limsup$ o $\liminf$ ?

Answer 1

Esto no es muy difícil de demostrar por definición.

Por definición, tenemos que $\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = L$ es equivalente a la declaración:

Para todos $\epsilon > 0$ existe un número $M>0$ tal que $$x > M \implies |f(x)-L| < \epsilon$$

Aquí, $x$ es un número real. Si restringimos $x=n$ al conjunto de los números naturales, entonces la implicación

$$n > M \implies |f(n)-L| < \epsilon$$ todavía se mantiene. Sin embargo, en la definición del límite de una secuencia, $M$ es un número natural, pero esto no es un problema porque siempre podemos encontrar un número natural $M^*$ que es mayor que $M$ y la desigualdad $n>M$ se satisface para $n>M^*$ . Por lo tanto, existe $M^*\in\mathbb N$ tal que

$$n > M^* \implies |f(n)-L| < \epsilon$$ por lo tanto, por definición

$$\lim\limits_{n \to \infty} f(n) = L$$

Para demostrar que lo contrario no se cumple, considere la función (que fue sugerida por @Alexandros)

$$f(x) = \begin{cases} 1, x \in \mathbb N \\ 0, \text{otherwise} \end{cases}$$

Es evidente que la función $f(n)$ para $n \in \mathbb N$ es constante, y por tanto converge, pero $f(x)$ para $x\in \mathbb R$ diverge, porque la función sigue oscilando entre $0$ y $1$ por muy grande que sea $x$ se pone.

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Tu pregunta es bastante interesante, porque hay una definición alternativa (de Heine) del límite de una función, donde el límite de una función se define en términos del límite de una secuencia. Se establece a través del siguiente teorema:

$\lim\limits_{x\to a} f(x)=A$ si y sólo si $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$ para cada secuencia $(x_n)_{n\geq 1}$ , $x_n\neq a$ tal que $x_n\to a$ cuando $n\to\infty$ .

Obsérvese que para que este teorema se cumpla, las condiciones mencionadas anteriormente deben satisfacerse para todo tales secuencias $(x_n)_{n\geq 1}$ . Puede ver que la función $f(x)$ que definí anteriormente no satisface estas condiciones, porque las secuencias $a_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)_{n\geq1}$ y $b_n=(n)_{n\geq1}$ ambos $\to \infty$ como $n \to \infty$ pero $$\lim\limits_{n\to\infty} f(a_n) = 0$$ $$\lim\limits_{n\to\infty} f(b_n) = 1$$ y $0\neq1$ .

Answer 2

Sólo se le pide que considere la secuencia $u_n = f(n)$ y demostrar que $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{n\to \infty} u_n. $$

La figura siguiente es un ejemplo con $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$ y $u_n =\frac{n^2}{n^2+1}$ , ambos convergentes a $1$ .