Expresión de PACF recurrente en ACF y PACF de orden inferior

Question

Dejemos que $\rho_{partial}(n) = Cor(Y_t, Y_{t-n}|Y_{t-1}=\mu,\cdots Y_{t-2}=\mu, Y_{t-n+1}=\mu)$ donde $\mu$ es la media del proceso estacionario.

Sé que $\rho_{partial}(1)= \rho(1)$ y que $\rho_{partial}(2)=\frac{\rho(2)-\rho^2(1)}{1-\rho^2(1)}$

He oído que todas las autocorrelaciones parciales pueden representarse recurrentemente con autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales de orden inferior.

¿Podría darme una referencia y/o explicar cómo se pueden obtener parciales de orden superior?

UPD Este La respuesta sugiere el uso de la regla de Durbin-Lewinson, que contiene una matriz de toepliz. ¿Es cierto que las entradas de la matriz son de algún modo especiales, de modo que no importa lo grande que sea la matriz, las respuestas para $\rho_{partial(k)}$ depende sólo del orden inferior $\rho_{partials}$ ?

\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} \rho(0) & \rho(1) & \cdots & \rho(k-1) \\ \rho(1) & \rho(0) & \cdots & \rho(k-2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \rho(k-1) & \rho(k-2) & \cdots & \rho(0) \\ \end{array} \derecha) \izquierda( \begin{array}{c} \phi_{k1} \\ \phi_{k2} \\ \vdots \\ \phi_{kk} \\ \end{array} |right) = \left( \begin{array}{c} \rho(1) \\ \rho(2) \\ \vdots \\ \rho(k) \\ \end{array} \derecha),, \fin

UPD2 Un poco de mano de obra Podemos tratar cualquier proceso estacionario como un proceso AR, y entonces las autocorrelaciones parciales serán coeficientes $\phi_n$ . Cuando escribimos $\rho(k)$ obtenemos una suma de rhos con coeficientes por lo que surge la matriz.

Answer 1

Creo que en este muy buena respuesta debería encontrar todas las aclaraciones necesarias, especialmente la de cómo calcular el PACF de orden superior simultáneamente hasta el lag k (ver la regresión). Cuando lo veas, también obtendrás el conceptual respuesta a la pregunta marcada en negrita (independientemente de la elección de un método para su cálculo, regresión o Durbin-Lewinson): en efecto, reformulo su pregunta como "¿debería el PACF(k) depender sólo de las CA y PAC de orden inferior?" La respuesta es sí, por el significado de PACF, que muestra la correlación entre el proceso y su tramo k-ésimo después de contabilizar y eliminar los efectos de las autocorrelaciones en los rezagos de orden inferior. Así que en cada rezago k el PACF(k) debe depender sólo de los primeros k-1 rezagos, porque mide la correlación serial entre el proceso en el momento actual (en el rezago 0) y su rezago k, después de limpiar los efectos de los otros k-1 rezagos intermedios que están autocorrelacionados entre sí. Espero que quede suficientemente claro.