Estoy estudiando sobre wavelets y aquí hay una derivación que no he podido entender:
La constante que hace que esta base ortogonal sea ortonormal es $2^{j/2}$ . En efecto, a partir de la definición de norma $^2$ en $L^2$ : $$1=(\text{const})^2\,\,\color{red}{\boxed{\color{black}{\displaystyle \int \psi^2(2^jx-k)\,dx}}}=(\text{const})^2\cdot\color{red}{\boxed{\color{black}{\displaystyle 2^{-j}\int \psi^2(t)\,dt}}}=(\text{const})^2\cdot2^{-j}.$$
Así que la función $\psi(x) $ es la función wavelet de Haar, que toma el valor $1, -1$ en los intervalos $[0,\frac{1}{2})$ y $[\frac{1}{2}, 1)$ y $0$ cero en todos los demás lugares. He resaltado la parte que no entiendo...
¿Puede alguien mostrarme, por qué
$$\int \psi^2(2^jx-k)\;dx = 2^{-j}\int\psi^2(t)\;dt$$
Gracias por cualquier ayuda. En caso de que necesites más información sólo tienes que decírmelo. Aquí está mi referencia:
http://gtwavelet.bme.gatech.edu/wp/kidsA.pdf (página 5, arriba)
