Probar una ecuación lógica

Question

Tengo dos informaciones. $x+y = 1$ y $xy = 0$ .

Ahora, necesito probar esta ecuación: $xz + x'y + yz = y + z$

Lo que he probado:

$z(x+y) + x'y = z + x'y$

Eso es todo.

¿Qué te parece?

Answer 1

Xz+x′y+yz = xz+ xy + x′y+yz .... (añadiendo xy=0)

      = xz + y(x + x') +yz

      = xz + y + yz  .....( x+x' always = 1)

      = z(x+y) + y ...  rearranging terms

      = z + y ........... as x + y = 1 is given.

Answer 2

Si (x+y)=1, entonces x=1 o y=1 o ambos x=1 e y=1. Ahora supongamos también que xy=0. En consecuencia, x=y=1 no es cierto. Así pues, exclusivamente x=1 o y=1. En otras palabras, se da uno de los dos casos siguientes:

Caso 1: x=1, e y=0.

Caso 2: x=0, e y=1.

Veamos ahora el primer caso. Esto significa que sustituiremos x por 0, e y por 1.

Caso 1: [xz+(x′y+yz)]=[1z+(1'0+0z)]. Como 1z=z, x0=0, y 0z=0 obtenemos entonces

[1z+(1'0+0z)]=[z+(0+0)]. Como, [z+(0+0)]=z, obtenemos entonces

[z+(0+0)]=z. Además, (y+z)=(0+z)=z. Entonces, por aplicaciones repetidas de la propiedad transitiva de "=" tenemos que [xz+(x′y+yz)]=(y+z) en este caso.

Caso 2: [xz+(x′y+yz)]=[0z+(0'1+1z)]. Como 0z=0, 0'=1, 1z=z obtenemos

[0z+(0'1+1z)]=[z+(11+z)]. Como 11=1 obtenemos entonces

[z+(11+z)]=[z+(1+z)]. Como [x+(1+y)]=1 obtenemos entonces

[z+(1+z)]=1. Además, (y+z)=(1+z)=1. Entonces, por aplicaciones repetidas de la propiedad transitiva de "=" en este caso tenemos que [xz+(x′y+yz)]=(y+z).

Dado que uno de esos casos se cumplirá, se deduce que en el Álgebra de Boole, en general

[xz+(x′y+yz)]=(y+z).