Vectores propios generalizados de un espacio vectorial de dimensión finita

Question

Actualmente estoy leyendo 'Lie Groups, Beyond an Introduction' de Knapp, y no consigo entender este punto.

Dejemos que $V$ sea una dimensión finita $\mathbb{C}$ -espacio vectorial, $\pi: \mathfrak{h} \rightarrow \text{End}_{\mathbb{C}}(V)$ una representación, y $\alpha \in \mathfrak{h}^*$ . Definir: $$V_\alpha = \{v \in V: (\pi(H) - \alpha(H)1)^n = 0 \text{ for all } H \in \mathfrak{h} \text{ and some }n = n(H,v)\}$$ Desde $V$ es de dimensión finita, $\pi(H) - \alpha(H)1$ tiene $0$ como su único valor propio generalizado en $V_\alpha$ y es nilpotente en este espacio, como consecuencia de la teoría de la forma normal de Jordan. Por tanto, $$n(H,v) = \text{dim}(V)$$

Hay algunas cosas que no estoy entendiendo bien aquí.

1. ¿Por qué $V$ que sea de dimensión finita significa que no hay valores propios generalizados distintos de cero?

2. ¿Estoy en lo cierto al pensar que al ser nilpotente, se refiere particularmente a que $$(\pi(H) - \alpha(H))^2 v = 0$$ desde " $0$ es el único valor propio generalizado".

3. ¿Por qué es que $n(H,v) = \text{dim}(V)$ ¿Cómo se deduce esto de la "teoría de la forma normal de Jordan"?

Answer 1

1. Primero verifique que $V_\alpha$ es un $\pi$ -invariante del subespacio. Está diciendo que no puede tener un valor propio (generalizado) distinto de cero en $V_\alpha$ no en su totalidad $V$ .

2. El exponente puede ser mayor que $2$ para obtener $0$ Si no es así, sí.

3. En la definición de $V_\alpha$ el nivel de nilpotencia $n$ puede depender de $H$ y $v$ lo que es cierto para el mínimo de tales $n$ . Sin embargo, aquí sólo afirma la existencia, y la elección $n=\dim V_\alpha$ (o $n=\dim V$ ) funciona de manera uniforme para todos los $H$ y $v$ .