Prueba del teorema de Gauss-Green

Question

Me parece que no puede encontrar todas las referencias que da una prueba de la Gauss-teorema de Green:

Deje $U\subset\mathbb{R}^{n}$ ser un proceso abierto, acotado conjunto con $\partial U$$C^1$. Supongamos $u\in C^{1}(\bar{U})$, $$\int_{U}{\frac{\partial u}{\partial x_i}}dx=\int_{\partial U}u\nu^{i}dS\;\;\;\;(i=1,\ldots,n),$$ donde $\nu=(\nu^1,\ldots\nu^n)$ denota el exterior que apunta a la unidad vector normal de campo a la región de $U$.

Evans, de la PDE libro de texto presenta el teorema (sin pruebas) en el apéndice, y procede a utilizar para deducir Verde del forumlas y la fórmula para $n$-dimensiones de la integración por partes. Así que realmente me gustaría tener una prueba del teorema de referencia para el futuro.

Answer 1

Hay una prueba simple de Gauss-Verde teorema si uno comienza con la hipótesis de la Divergencia, el teorema, que es familiar de cálculo vectorial, \begin{equation} \int_{U}\mathrm{div}\,\mathbf{w}\,dx = \int_{\partial U} \mathbf{w}\cdot\mathbf{\nu}\,dS, \end{equation} donde $\mathbf{w}$ cualquier $C^\infty$ campo de vectores en $U\in\Bbb{R}^n$ $\mathbf{\nu}$ es exterior normal en $\partial U$.

Ahora bien, dado que la función escalar $u$ en el conjunto abierto $U$, podemos construir el vector de campo \begin{equation} \mathbf{w}=(0,\ldots,0,u,0,\ldots,0), \end{equation} donde $u$ $i$th componente. Luego, siguiendo el teorema de la Divergencia, tenemos \begin{equation} \int_U \mathrm{div}\,\mathbf{w}\,dx=\int_U u_{x_i}\,dx =\int_{\partial U}\mathbf{w}\cdot\mathbf{\nu}\,dS =\int_{\partial U}u\nu^i\,dS. \end{equation}

En Evans' libro (Página 712), el de Gauss-Verde es el teorema afirma sin prueba y el teorema de la Divergencia se muestra como una consecuencia de la misma. Esto puede ser opuesto a lo que la mayoría de la gente está familiarizada.

Answer 2

Aquí está una analítica de la prueba no el uso de formas diferenciales. Restringido a $n=3$, llega casi textual de Stewart, Cálculo: Principios Trascendentales.

Para empezar, vamos nosotros, ingenuamente, suponga que la región de $U$ es convexa. La razón para hacer la aparentemente-mucho de la asunción es que queremos dar una descripción de $U$ en términos de una sola de las dos caras de la desigualdad (en la forma $a\leq x_i\leq b$) para cada una de las $i$. Deje $D$ ser la proyección de $U$ a de la $x_1x_2\cdots\hat{x_i}\cdots x_n$ hyperplane (para evitar confusiones, $\hat{}$ significa que la variable objeto está ausente). Debido a la convexidad de $U$, podemos escribir $U=\{(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbf{R}^n|(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n)\in D\mbox{ and } f_1\leq x_i \leq f_2\}$ algunos $\mathbf{R}^{n-1}\to \mathbf{R}$ funciones $f_1(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n)$$f_2(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n)$. Aquí $f_1$ $f_2$ $C^1$ por la definición de $\partial U$ $C^1$(véase el apéndice de Evans).

Recuerde que queremos probar $$\int_U\frac{\partial u}{\partial x_i}dx=\int_{\partial U}u\nu^idS.$$ The description of $U$ above allows us to write the LHS as an iterated integral $$\int_D\left(\int_{f_1(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n)}^{f_2(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n)}\frac{\partial u}{\partial x_i}dx_i\right)dA,$$ where $dA=dx_1\cdots\hat{dx_i}\cdots dx_n$. Apply the Fundamental Theorem of Calculus to the inner integral, we then have $$\int_Du(x_1,\cdots,f_2(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n),\cdots,x_n)-u(x_1,\cdots,f_1(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n)\cdots,x_n)dA.$$

Esto es todo lo que podemos hacer a la LHS ahora. Para la RHS, aviso que $\partial U$ puede ser descompuesto en tres superficies $S_2$, $S_3$ y $S_{1}$ donde $\nu^i$ en todos los puntos de $S_2$ son positivas, $\nu^i$ en todos los puntos de $S_3$ cero ($S_3$ es paralela a la $x_i$ eje) y $\nu^i$ $S_1$ son negativos. Por lo tanto, el lado derecho es

$$\int_{S_2}u\nu^idS+\int_{S_3}u\nu^idS+\int_{S_1}u\nu^idS.$$

Desde $\nu_i$ $S_3$ es cero, sólo el primero y el último término de mantener. A partir de la imagen geométrica descrita al principio, la proyección de $S_1$ $S_2$ a de la $x_1x_2\cdots\hat{x_i}\cdots x_n$ hyperplane son exactamente $D$. También hay que tener en cuenta que $\nu^i$ es la dirección coseno de $\nu$ $x_i$ eje $\mathbf{R}^n$. Por lo tanto, $$\int_{S_2}u\nu^id=\int_Du(x_1,\cdots,f_2(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n),\cdots,x_n)d Una,$$ y $$\int_{S_1}u\nu^idS=-\int_Du(x_1,\cdots,f_1(x_1,\cdots,\hat{x_i},\cdots,x_n),\cdots,x_n)dA.$$

Esto demuestra el teorema de al $U$ es convexa. Para general $C^1$ $U$, estoy pensando en cortar la región convexa en trozos, de modo que cuando vamos a la cola de la superficie integral de tocar las caras son sólo cancelado debido a opuesto a la dirección de las normales. Por supuesto, espero ocasional "no batido" no introducir demasiados problemas.

Answer 3

Es un caso especial, tanto de Stokes teorema, y el de Gauss-Bonnet teorema, el primero de los cuales tiene análogos, incluso en la optimización de la red y tiene una buena formulación (y prueba) en términos de formas diferenciales.

Algunas pruebas son en:

• Walter Rudin (1976), los Principios de Análisis Matemático
• Robert & Ellen Buck (1978), Cálculo Avanzado (se resumen sucintamente en Denis Auroux del MIT OCW online apuntes de clase)
• Harley Flandes, Formas Diferenciales con Aplicaciones a las Ciencias Físicas (pp 55-66)
• Victor Katz (1979), La Historia de Stokes Teorema de
• Conferencia de videos en línea (enlace 7 es Auroux de la conferencia)

Rudin es como siempre muy limpio y legible. Buck/Arnoux es muy accesible y estándar. Es que es demasiado geométrica, trate de uno como de Flandes'. Boothby Introducción a Diferenciable Colectores y la Geometría de Riemann (por ejemplo) tiene un periodo relativamente corto de prueba utilizando la geometría diferencial. En general, las formas diferenciales/geometría enfoques son más analíticos, pero todos se basan en alguna forma de la descomposición de las regiones (o algún teorema o una definición que trata el mismo concepto) en la más simple de las regiones, lo cual es natural cuando la integral se define en términos de una suma de Riemann.

A riesgo de simplificar demasiado, presento un resumen conceptual de una prueba. La idea básica de Verde del teorema es ver cómo generalizar la idea fundamental del cálculo (FTOC) a diversas variables. Además de sus supuestos, añadimos un sobre de la región de $\overline{U}\subset\mathbb{R}^n$, por ejemplo, que es compacto, lo que significa cerrados y acotados en $\mathbb{R}^n$, o una unión de delimitada y simplemente se conecta a las regiones; la exacta supuesto depende del método de la prueba y sus requisitos. Pero todas las pruebas que he visto se reducen a una descomposición de la $U$ en una contables de la unión de $\cup_{\alpha}U_\alpha$ de distinto subregiones que son más susceptibles a la aplicación de la FTOC. Las subregiones son "susceptibles" en dos sentidos: en primer lugar, pueden ser cortadas en la misma dirección paralela a un eje de coordenadas, eliminando así uno de los espacios variable en una porción de $\int_Ud\omega$ para obtener una porción correspondiente de $\int_{\partial U}\omega$. Pero, en segundo lugar, son adyacentes.

$$ U=\cup_\alpha U_\alpha \qquad U_\alpha \text{ pairwise disjoint, convex} $$ $$ \omega=\sum_{i=1}^{n}\omega_i \qquad \omega_i= u\,dx^1 \wedge\cdots\wedge dx^{i-1} \wedge dx^{i+1} \wedge\cdots\wedge dx^n $$ $ $ \omega=\sum_{i=1}^n d\omega_i%=\nabla\cdotu\, dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \qquad d\omega_i=\frac{\partial u}{\partial x^i}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$$ $$ \eqalign{ \int_{ U } d\omega &= \sum_i \int_{ U } d\omega_i = \sum_i \sum_\alpha \int_{ U_\alpha} d\omega_i \\&= \sum_i \sum_\alpha \int_{\partial U_\alpha} \omega_i = \sum_i \int_{\partial U } \omega_i &= \int_{\partial U } \omega } $$ La integral a lo largo del interior de los límites de cancelar, debido a la orientación y adyacencia. El de arriba es un boceto conceptual de la derivación de Green y Stokes teoremas. Las partes a la derecha de una suma de más de $i$, a lidiar con las integrales de $\int_{R}d\omega_i$ $\int_{\partial R}\omega_i$ ($R=U$ o $U_\alpha$), es de color Verde del teorema. Normalmente, se utiliza a continuación para derivar Stokes teorema.