Gracias a Franz Lemmermeyer de los comentarios anteriores, estoy en condiciones de dar una respuesta. Sin embargo, supondré que $L/K$ es Galois. La dirección $\implies$ no es realmente difícil. Lo contrario es más interesante.
Introduzcamos la siguiente definición:
Definición. Si $T$ es un conjunto de ideales primos de un campo numérico $K$ y si $\zeta_{T,K}^n$ tiene un polo de orden $m$ en $s=1$ donde $$\zeta_{K,T}(s):=\prod\limits_{p \in T} \dfrac{1}{1-N(p)^{-s}},$$ entonces $$d(T)=m/n$$ se llama densidad polar de $T$ .
Aquí $N(p) = |O_K/p|$ es la norma absoluta de $p$ .
Podemos comprobar las siguientes propiedades:
- La densidad polar es aditiva: si $T$ y $T'$ son dos conjuntos disjuntos de primos de $K$ entonces $$d(T \sqcup T') = d(T)+d(T')$$
- La densidad polar es monótona: si $T \subset T'$ entonces $$d(T) \leq d(T')$$
- Un conjunto finito de primos de $K$ tiene densidad $0$ y el conjunto de todos los ideales primos de $K$ tiene densidad $1$ .
$\newcommand\Spl{\mathrm{Spl}}$ La afirmación principal es la siguiente:
Teorema: El conjunto $\Spl(L/K)$ de ideales primos de $K$ que están totalmente divididos en $L$ tiene una densidad polar $1/[L:K]$ .
Entonces la inclusión $L \subset M$ se desprende de $\Spl(M/K) \setminus T \subset \Spl(L/K)$ , donde $T$ es un conjunto finito de primos de $K$ . De hecho, queremos mostrar $LM=M$ es decir $[M:K]=[LM:K]$ . Desde $\Spl(M/K) \cap \Spl(L/K) = \Spl(LM/K)$ obtenemos $$\Spl(M/K) \setminus T \subset \Spl(LM/K) \subset \Spl(M/K)$$ Entonces $d(\Spl(M/K))=d(\Spl(M/K) \setminus T ) + d(T) = d(\Spl(M/K) \setminus T )$ ya que $T$ es finito. Por lo tanto, obtenemos $$d(\Spl(M/K))=d(\Spl(M/K) \setminus T ) \leq d(\Spl(LM/K)) \leq d(\Spl(M/K))$$ de donde $$\dfrac{1}{[LM:K]} = d(\Spl(LM/K)) = d(\Spl(M/K)) = \dfrac{1}{[M:K]},$$ que muestra $[M:K]=[LM:K]$ como se desee.
Demostremos el teorema.
Prueba. $\newcommand\Spec{\mathrm{Spec}}$
Paso 1. Dejemos que $S=\Spl(L/K)$ y $T = \{q \in \Spec(\mathcal{O}_L) \mid q \cap K \in S\}$ . Afirmamos que $$\zeta_{L,T}(s) = \zeta_{K,S}(s)^{[L:K]}.$$ (en los próximos pasos, demostraremos que $\zeta_{L,T}$ tiene un polo de orden $1$ en $s=1$ ).
De hecho, si $p \in S$ entonces $pO_L = \mathfrak{q}_1 \cdots \mathfrak{q}_{[L:K]}$ con $N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{q}_i) = N_{K/\Bbb Q}(p)$ y $\mathfrak{q}_i \in T$ . Por lo tanto, $$ \zeta_{L,T}(s) = \prod\limits_{\mathfrak{q} \in T} (1-N(\mathfrak{q})^{-s})^{-1} = \prod\limits_{p \in S} \prod\limits_{\mathfrak{q} \mid p} (1-N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{q})^{-s})^{-1} = \prod\limits_{p \in S} (1-N(p)^{-s})^{-[L:K]} = \zeta_{K,S}(s)^{[L:K]} $$
Paso 2. Sabemos que $T$ contiene $$Q := \{\mathfrak{q} \in \Spec(\mathcal{O}_L) \mid N(\mathfrak{q}) \text{ is prime in } \mathbb{Z} \;\text{ and }\; \mathfrak{q} \cap K \text{ is unramified in } L\}$$ para que la escritura $\Spec(\mathcal{O}_L) = T \sqcup T^c$ , donde $T^c$ es el complemento de $T$ en $\Spec(\mathcal{O}_L)$ rinde $T^c \subset Q^c = P \cup R$ donde $$P:=\{\mathfrak{q} \in \Spec(\mathcal{O}_L) \mid N(\mathfrak{q}) \text{ is not prime in } \mathbb{Z} \}$$ y $$R:=\{\mathfrak{q} \in \Spec(\mathcal{O}_L) \mid \mathfrak{q} \cap K \text{ is ramified in } L \}.$$ Observe que $R$ es finito, por lo que $d(R)=0$ .
Paso 3. Demostramos que $d(P)=0$ . Si $\mathfrak{q} \in P$ entonces $N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{q}) = p^f$ para algún primo $p \in \mathbb{Z}$ y $f \geq 2$ .
A la inversa, dado un primo $p \in \mathbb{Z}$ hay a lo sumo $[L:\Bbb Q]$ primos de $L$ por encima de $p$ .
Entonces $$\zeta_{L,P}(s) = \prod\limits_{\mathfrak{q} \in P} (1-N(\mathfrak{q})^{-s})^{-1} = \prod\limits_{\substack{p \in \mathbb{Z} \\ p \text{ prime }}} \prod\limits_{i=1}^{[L:\mathbb{Q}]} g_i(p;s)= \prod\limits_{i=1}^{[L:\mathbb{Q}]} \underbrace{\prod\limits_{\substack{p \in \mathbb{Z} \\ p \text{ prime }}} g_i(p;s)}_{=: g_i(s)} $$ donde $p\mathcal{O}_L = \mathfrak{q}_1^{e_1} \cdots \mathfrak{q}_{r(p)}^{e_{r(p)}}$ y $$g_i(p;s):= \begin{cases} (1-p^{-f(\mathfrak{q}_i/p)s})^{-1} & \text{if }\; i \leq r(p) \leq [L:\mathbb{Q}] \;\text{ and }\; f(\mathfrak{q}_i/p) \geq 2\\ 1 & \text{else.} \end{cases}$$
Pero para todos $i$ tenemos $$g_i(1) = \prod\limits_{\substack{p \in \mathbb{Z} \\ p \text{ prime }}} g_i(p;1) \leq \prod\limits_{\substack{p \in \mathbb{Z} \\ p \text{ prime }}} (1-p^{-2})^{-1} = \zeta(2) < \infty$$
Por lo tanto, $g_i$ es holomorfo en $s=1$ y también lo es $\zeta_{L,P} = \prod_{i=1}^{[L:\mathbb{Q}]} g_i$ .
Por lo tanto, $d(P)=0/1=0$ .
Paso 4. Finalmente, $d(T^c) = 0$ y por monotonicidad, $d(T)=1$ lo que significa que $\zeta_{L,T}$ tiene un polo de orden $1$ en $s=1$ . Desde $\zeta_{L,T}(s) = \zeta_{K,S}(s)^{[L:K]}$ podemos escribir $d(S)=\dfrac{1}{[L:K]}$ , según se desee. $\hspace{17cm}\blacksquare$
Todas estas ideas se pueden encontrar en Milne, Class field theory, capítulo. VI, §3.
