Contexto: Actualmente estoy leyendo los apuntes de la conferencia de libre acceso de Tristan Riviere ( aquí ) sobre la aplicabilidad de la integración por compensación en el análisis de varias EDP de motivación geométrica.
He tratado de encontrar algo en la vasta literatura en el siguiente sentido: supongamos $u:D^2\rightarrow\mathbb{R}^n$ , $u\in W^{1,2}$ , $\Delta u = f(u,\nabla u) = 2H\partial_xu\times\partial_yu$ . Entonces
$$u\in C^{0,\alpha}(D') \rightarrow u\in C^\infty(D''),$$
donde $D'' \subset\subset D' \subset\subset D$ .
En otras palabras, una estimación interior. Con la poca regularidad que hay, parece muy difícil. Me parece sorprendente porque la mayoría de las veces, demostrar la regularidad de Hölder de la solución es la parte "más difícil". Tengo la sensación de que me falta una referencia obvia o un argumento folclórico conocido.
La demostración de la continuidad de Hölder de la solución se basa en la derivación de una estimación de tipo Morrey con la ayuda del lema de Wente. En el proceso de hacer esto, también se muestra que
$$\sup_{\rho < 1/2, p\in B_{1/2}(0)} \rho^{-\alpha} \int_{B_\rho(p)} |\Delta u|$$
está acotado. Esto implica que $f\in\mathcal{H}^1$ . Sólo incluyo este detalle extra por si esta pregunta encaja en un marco general de regularidad interior óptima para la ecuación de Poisson en un disco cuando el lado derecho es Hardy. (Esta es la razón de la forma anterior de mi pregunta).
¿Alguien puede ayudar?
