Prueba de la regla de la cadena incorrecta

Question

Tengo una prueba válida para la Regla de la Cadena, sin embargo no entiendo por qué el "argumento" dado aquí es incorrecto.

Answer 1

Una forma sencilla de solucionar el problema de la "división por cero" cuando $g(x)-g(a)=0$ es definir la función continua $$ \frac{\Delta f}{\Delta g}(x)= \begin{cases} f'(g(a))&\quad\text{if }g(x)-g(a)=0\\ \\ \dfrac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}&\quad\text{otherwise} \end{cases} $$ y confirmar (pensarlo bien) que tenemos $$ \frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\cdot\frac{\Delta f}{\Delta g}(x) $$ tanto para valores de $x$ donde $g(x)-g(a)=0$ y otros valores de $x$ . En el primer caso, ambos lados se convierten en cero, y en el segundo caso estamos considerando básicamente el paso peligroso $$ \frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\cdot\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)} $$ que ahora es legítimo ya que $g(x)-g(a)\neq 0$ . Al tomar los límites, necesitará la continuidad de $\dfrac{\Delta f}{\Delta g}(x)$ .

Answer 2

El problema es simplemente que si $g$ fueron constantes en una vecindad de $a$ entonces $g(x)-g(a)=0$ cuando $x$ está cerca de $a$ y, por lo tanto, está dividiendo por $0$ .

Answer 3

Veo que este es un post antiguo, pero espero que pueda obtener una respuesta aquí de todos modos. Como estoy trabajando a través de esta prueba, en realidad no veo por qué tenemos que definir / para ser una función continua. Me parece tanto que (i) / siempre va a ser igual al cociente de la diferencia independientemente del valor que le asignemos en el caso de que g(x) = g(a) y (ii) el límite de / siempre se acercará a (()) a medida que x se acerque a a, por lo que no veo el perjuicio de elegir cualquier valor arbitrario para / cuando g(x) = g(a) . Intuitivamente, me parece que hay algo que no funciona en la afirmación (ii), pero no puedo precisar qué es lo que falla.

Edición: Lo siento, quería publicar esto como una respuesta a otro comentario, no como una respuesta. Soy nuevo en el sitio web.