Función generadora de $\sum_i x^i i^n$

Question

Estoy tratando de encontrar una función generadora para la siguiente familia de sumas infinitas:

$$F_n(x)= \sum_{i \geq 0} x^i i^n$$

Resolver para los pequeños $n$ se hace trivialmente a mano. He introducido la suma en WolframAlpha para que sea pequeña $n$ y se ha dado cuenta de que siempre se resuelve en $p(x) / (1-x)^{n+1}$ donde $p(x)$ es siempre un polinomio de buen aspecto (orden $n$ , coeficientes enteros positivos pequeños, etc.).

¿Existe una forma cerrada para $p$ o sus coeficientes?

Answer 1

Al clasificar las funciones de $\{1,2,\ldots,n\}$ a $\{1,2,\ldots,i\}$ según la cardinalidad de su rango tenemos que $$ i^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{i}{k}k!{n\brace k} $$ donde ${n\brace k}$ es un Número de Stirling del segundo tipo representando de cuántas maneras podemos dividir $\{1,2,\ldots,n\}$ en $k$ subconjuntos no vacíos. Esto permite afirmar que $$ \sum_{i\geq 0} i^n x^i = \sum_{k=0}^{n}k!{n\brace k}\sum_{i\geq 0}\binom{i}{k}x^i = \sum_{k=0}^{n}k!{n\brace k}\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$$ donde la última identidad se deduce de estrellas y barras . También podemos observar que la reclamación $$ (1-x)^{n+1}\sum_{i\geq 0}i^n x^i\text{ is a polynomial } $$ es una consecuencia de un hecho bien conocido. Al definir el operador de diferencia hacia adelante $\delta$ a través de $(\delta p)(x) = p(x+1)-p(x)$ tenemos que si $p(x)$ tiene grado $d\geq 1$ entonces $(\delta p)(x)$ tiene grado $d-1$ . En particular, al aplicar $\delta^{n+1}$ a un polinomio de grado $n$ siempre conseguimos $0$ . Esto no es más que una forma equivalente de la afirmación anterior, ya que demuestra

$$ \forall m>n,\qquad [x^m]\left((1-x)^{n+1}\sum_{i\geq 0}i^n x^i\right) = 0. $$