Factoriales y combinaciones

Question

Entiendo que $$n! = n (n-1) (n-2)\cdots 2 \cdot 1.$$ Mi libro dice que esto también se puede escribir como $$n (n-1)!$$ Sin decirme por qué

Mi pregunta es ¿Cómo y por qué es eso? ¿Por qué no podemos dejarlo como está? Básicamente busco una explicación fácil de entender.

Gracias

Answer 1

Si se sustituye por $n-1$ en la definición, se obtiene

$$(n-1)! = (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dotso\cdot2 \cdot 1\;.$$

Esto es $n!$ salvo que el factor inicial de $n$ no está, por lo que $n!=n(n-1)!$ . En palabras: Desde $n!$ es el producto de todos los números hasta $n$ es el producto de $n$ con el producto de todos los números hasta $n-1$ .

En cuanto a por qué no podemos dejarlo como está, podemos; no veo por qué tu libro insinuaba que no podemos. La razón por la que a veces tiene sentido reescribir el factorial así es principalmente que eso es útil en las pruebas inductivas, donde alguna propiedad que involucra un factorial $n!$ se reduce a la propiedad correspondiente que implica el factorial $(n-1)!$ .

Answer 2

Quiero añadir que entender lo que representan los factoriales, combinatoriamente, es otra forma de entender de dónde "viene" la segunda fórmula. Recordemos que $n!$ es el número de formas de organizar $n$ objetos distintos (por ejemplo, bolas de billar numeradas $1\ldots n$ ) en una línea; ahora considere la bola etiquetada $n$ . Hay $n$ lugares' que puede ir en la línea; la primera ranura, la segunda ranura, ..., hasta llegar a la $n$ ranura. Y dondequiera que lo saques de la línea, el otro $(n-1)$ las bolas se pueden disponer arbitrariamente en $(n-1)!$ formas, por lo que el número total de arreglos $n!$ debe ser el mismo que el producto (lugares para poner el $n$ de la bola) $\times$ (formas de disponer las otras bolas) - o en otras palabras, $n\times(n-1)!$ .