Álgebra lineal: Matrices simétricas, diagonalización (ayuda a la demostración)

Question

Necesito un poco de ayuda con una prueba IFF, aquí está:

{Sea X una matriz simétrica n × n. Demuestre: $$X=Y^2$$

para alguna matriz simétrica Y si X sólo tiene valores propios no negativos. }

Mi opinión:

Esto me obliga a utilizar el principio: $$ A^n=PD^nP^T$$ Ahora bien, como A es simétrica, cualquier matriz simétrica cuyas entradas sean reales puede ser diagonalizada por una matriz ortogonal. Donde P contiene los vectores propios derivados de mis valores propios en A, $$A=PDP^-1$$ se convierte en $$A=PDP^T$$

En la dirección >>>, si X es Y^2, eso significa que X debe ser positiva definida, por lo que los valores propios de X terminarán siendo +ve o 0 si el respectivo valor propio en Y es 0. En la dirección <<< asumo que todos los valores propios de X son no negativos, lo que significa que si la elevara al cuadrado, entonces sólo necesito demostrar que una matriz por sí misma es simétrica. ?

Cualquier comentario será muy apreciado. Saludos

Answer 1

Si $Y^2 = X$ para alguna simetría $Y$ entonces escriba $$ Y = P^TDP \\\implies X = P^TD^2P $$ los valores propios de $P^TD^2P$ son los valores de la diagonal de $D^2$ que son cuadrados de números reales. Por lo tanto, $X\ge 0$ (esta es una notación para " $X$ tiene valores propios positivos").

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Si $X$ tiene valores propios positivos:

Puedes escribir $E = \bigoplus_{i=1}^k E_{a_i}$ donde $a_i\ge 0$ y $E_{x} = \{v\in E: Xv = xv \}$ .

Definir $Yv = \sqrt {a_i} v$ en cada $E_{a_i}$ y ampliarlo a $E$ al mantener la linealidad. $Y^2 = X$ en cada $E_{a_i}$ y también en $E$ utilizando la linealidad, y $Y$ es simétrico porque $X$ es.